【题目】如图1,抛物线与
轴交于点
,与
轴交于点
,在
轴上有一动点
,过点
作
轴的垂线交直线
于点
,交抛物线于点
.
(1)求的值;
(2)若,求
的值,
(3)如图2,在(2)的条件下,设动点对应的位置是
,将线段
绕点
逆时针旋转得到
,旋转角为
,连接
、
,求
的最小值.
【答案】(1 a= ;(2)m=3;(3)AP2+
BP2的最小值为
.
【解析】
(1)把A点坐标代入可得到关于a的方程,可求得a的值;
(2)由△OAB∽△PAN可用m表示出PN,且可表示出PM,由条件可得到关于m的方程,则可求得m的值;
(3)在y轴上取一点Q,使 ,可证得△P2OB∽△QOP2,则可求得Q点坐标,则可把AP2+
BP2化为AP2+QP2,利用三角形三边关系可知当A、P2、Q三点在一条线上时有最小值,则可求得答案.
解:(1)∵A(4,0)在抛物线上,
∴0=16a+4(a+2)+2,解得a= ;
(2)由(1)可知抛物线解析式为y=x2+
x+2,令x=0可得y=2,
∴OB=2,
∵OP=m,
∴AP=4-m,
∵PM⊥x轴,
∴△OAB∽△PAN,
∴,即
,
∴PN=(4-m),
∵M在抛物线上,
∴PM=m2+
m+2,
∵PN:MN=1:3,
∴PN:PM=1:4,
∴m2+
m+2=4×
(4-m),
解得m=3或m=4(舍去);
(3)在y轴上取一点Q,使 ,如图,
由(2)可知P1(3,0),且OB=2,
∴ ,且∠P2OB=∠QOP2,
∴△P2OB∽△QOP2,
∴ ,
∴当Q(0, )时QP2=
BP2,
∴AP2+BP2=AP2+QP2≥AQ,
∴当A、P2、Q三点在一条线上时,AP2+QP2有最小值,
∵A(4,0),Q(0,),
∴AQ= ,即AP2+
BP2的最小值为
.
故答案为:(1 a= ;(2)m=3;(3)AP2+
BP2的最小值为
.
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【题目】一不透明的布袋里,装有红、黄、蓝三种颜色的小球(除颜色外其余都相同),其中有红球2个,蓝球1个,黄球若干个,现从中任意摸出一个球是红球的概率为.
(1)求口袋中黄球的个数;
(2)甲同学先随机摸出一个小球(不放回),再随机摸出一个小球,请用“树状图法”或“列表法”,
求两次摸 出都是红球的概率;
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【题目】如图,这是某班数学科代表根据他们班上学期的数学成绩画出的频数分布直方图,从这个图中,请你回答下列问题:
(1)你认为他们班共有学生多少名?
(2)全班数学成绩及格率(60分及以上为及格)为多少?
(3)在哪个分数段的学生最多?
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【题目】如图,AC是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,点P是⊙O外一点,连接PA,PB,AB,已知∠PBA=∠C.
(1)求证:PB是⊙O的切线;
(2)连接OP,若OP∥BC,且OP=8,⊙O的半径为,求BC的长.
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【题目】如图,已知Rt△ABD中,∠A=90°,将斜边BD绕点B顺时针方向旋转至BC,使BC∥AD,过点C作CE⊥BD于点E.
(1)求证:△ABD≌△ECB;
(2)若∠ABD=30°,BE=3,求弧CD的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+5与y轴交于点A,与x轴交于点B.抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点.
(1)点A,B的坐标分别是A ,B ;
(2)求抛物线的解析式;
(3)过点A作AC平行于x轴,交抛物线于点C,点P为抛物线上的一动点(点P在AC上方),作PD平行于y轴交AB于点D,问当点P在何位置时,四边形APCD的面积最大?并求出最大面积.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以AC为直径作⊙O,交AB于D,过点O作OE∥AB,交BC于E.
(1)求证:ED为⊙O的切线;
(2)如果⊙O的半径为,ED=2,延长EO交⊙O于F,连接DF、AF,求△ADF的面积.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】试题分析:(1)首先连接OD,由OE∥AB,根据平行线与等腰三角形的性质,易证得≌
即可得
,则可证得
为
的切线;
(2)连接CD,根据直径所对的圆周角是直角,即可得 利用勾股定理即可求得
的长,又由OE∥AB,证得
根据相似三角形的对应边成比例,即可求得
的长,然后利用三角函数的知识,求得
与
的长,然后利用S△ADF=S梯形ABEF-S梯形DBEF求得答案.
试题解析:(1)证明:连接OD,
∵OE∥AB,
∴∠COE=∠CAD,∠EOD=∠ODA,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠COE=∠DOE,
在△COE和△DOE中,
∴△COE≌△DOE(SAS),
∴ED⊥OD,
∴ED是的切线;
(2)连接CD,交OE于M,
在Rt△ODE中,
∵OD=32,DE=2,
∵OE∥AB,
∴△COE∽△CAB,
∴AB=5,
∵AC是直径,
∵EF∥AB,
∴S△ADF=S梯形ABEFS梯形DBEF
∴△ADF的面积为
【题型】解答题
【结束】
25
【题目】【题目】已知,抛物线y=ax2+ax+b(a≠0)与直线y=2x+m有一个公共点M(1,0),且a<b.
(1)求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标(用a的代数式表示);
(2)直线与抛物线的另外一个交点记为N,求△DMN的面积与a的关系式;
(3)a=﹣1时,直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G,点G、H关于原点对称,现将线段GH沿y轴向上平移t个单位(t>0),若线段GH与抛物线有两个不同的公共点,试求t的取值范围.
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【题目】解不等式组请结合题意填空,完成本题的解答、
(I)解不等式①,得
(II)解不等式②,得
(III)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:
(IV)原不等式组的解集为
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【题目】某水果店在两周内,将标价为10元/斤的某种水果,经过两次降价后的价格为8.1元/斤,并且两次降价的百分率相同.
(1)求该种水果每次降价的百分率;
(2)从第一次降价的第1天算起,第x天(x为整数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为4.1元/斤,设销售该水果第x(天)的利润为y(元),求y与x(1≤x<15)之间的函数关系式,并求出第几天时销售利润最大?
时间x(天) | 1≤x<9 | 9≤x<15 | x≥15 |
售价(元/斤) | 第1次降价后的价格 | 第2次降价后的价格 | |
销量(斤) | 80﹣3x | 120﹣x | |
储存和损耗费用(元) | 40+3x | 3x2﹣64x+400 |
(3)在(2)的条件下,若要使第15天的利润比(2)中最大利润最多少127.5元,则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元?
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