Question

（2012•溧水县二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）如果AB=4，AE=2，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）连接OA，利用已知首先得出OA∥DE，进而证明OA⊥AE就能得到AE是⊙O的切线；
（2）通过证明△BAD∽△AED，再利用对应边成比例关系从而求出⊙O半径的长．

解答：（1）证明：连接OA，
∵OA=OD，
∴∠1=∠2．
∵DA平分∠BDE，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．∴OA∥DE．
∴∠OAE=∠4，
∵AE⊥CD，∴∠4=90°．
∴∠OAE=90°，即OA⊥AE．
又∵点A在⊙O上，
∴AE是⊙O的切线．

（2）解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°．
∵∠5=90°，∴∠BAD=∠5．
又∵∠2=∠3，∴△BAD∽△AED．
∴

BD

AD

=

BA

AE

，
∵BA=4，AE=2，∴BD=2AD．
在Rt△BAD中，根据勾股定理，
得BD=

8

3

3

．
∴⊙O半径为

4

3

3

．

点评：此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的判定及性质的运用和切线的求法等知识点的掌握情况．要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．