Question

已知函数y=x²+bx+c（x≥0），满足当x=1时，y=-1，且当x=0与x=4时的函数值相等．
（1）求函数y=x²+bx+c（x≥0）的解析式并画出它的图象（不要求列表）；
（2）若f（x）表示自变量x相对应的函数值，且又已知关于x的方程f（x）=x+k有三个不相等的实数根，请利用图象直接写出实数k的取值范围．

Answer 1

解：（1）由x=0与x=4时的函数值相等，根据抛物线的对称性可知，
抛物线对称轴为x==2，
即-=2，解得b=-4，
将x=1，y=-1代入y=x²-4x+c中，得1-4+c=-1，解得c=2，
∴y=x²-4x+2（x≥0）；

（2）方程f（x）=x+k的根，实质上是函数f（x）与直线y=x+k的图象交点，
由图象可知-2＜k≤2．
分析：（1）根据抛物线的对称性求对称轴，再根据对称轴公式求b的值，把x=1，y=-1代入函数式求c的值，根据自变量取值范围画出函数图象；
（2）关于x的方程f（x）=x+k有三个不相等的实数根，说明直线y=x+k与f（x）有三个交点，结合函数f（x）的图象可求实数k的取值范围．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据已知条件，利用待定系数法求二次函数解析式，根据自变量取值范围画函数图象，根据图象求k的取值范围．