Question

如图①，已知抛物线y=ax²+bx-3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B （-3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点N，问在对称轴上是否存在点P，使△CNP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图②，若点E为第三象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

Answer 1

分析：（1）由抛物线y=ax²+bx-3（a≠0）点A（1，0）和点B （-3，0），由待定系数法就可以直接求出a、b的值而求出抛物线的解析式．
（2）由（1）的解析式就可以求出C点的坐标，求出OC的值，在Rt△CON中由勾股定理就可以求出CN的值，CP₁=NP₁时，
作P₁H⊥CN于H，由三角形相似就可以求出P₁N的值，从而求出P1的坐标；
（3）设出点E的坐标，连接BE、CE，作EG⊥OB于点G，就可以表示EG、BG、OG的值就可以表示出四边形BOCE的面积，然后化为顶点式就可以求出其面积的最大值．

解答：解：（1）如图①，
∵y=ax²+bx-3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B （-3，0），
∴

0=a+b-3 0=9a-3b-3

，
解得

a=1 b=2

，
∴y=x²+2x-3．

（2）∵y=x²+2x-3，
∴y=（x+1）²-4，
∴N（-1，0），
∴ON=1．
∴当x=0时，y=-3，
∴C（0，-3）
∴OC=3．
∴在Rt△CON中由勾股定理，得
CN=

10

当P₁N=P₁C时，△P₁NC是等腰三角形，作P₁H⊥CN，
∴NH=

10

2

，△P₁HN∽△NOC，
∴

NH

OC

=

NP1

CN

，
∴

10 2

3

=

NP1

10

，
∴NP₁=

5

3

，
∴P₁（-1，

5

3

）
当P₄N=CN时，P₄N=

10

，
∴P₄（-1，

10

），
当P₂N=CN时，P₂N=

10

，
∴P₂（-1，-

10

），
当P₃C=CN时，P₃N=6，
∴P₃（-1，-6）
∴P点的坐标为：（-1，

10

）、（-1，-

10

）、（-1，-6）和（-1，-

5

3

）；                    

（3）设E（x，x²+2x-3 ），连接BE、CE，作EG⊥OB于点G，
∴GO=-x，BG=x+3，GE=-x²-2x+3，
∴S=

(x+3)(-x2-2x+3 )

2

+

-x(3-x2-2x+3)

2

S=-

3

2

（x+

3

2

）²+

63

8

∴x=-

3

2

，S=

63

8

，
∴E（-

3

2

，-

15

4

）．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定理的运用，二次函数的最值及四边形的面积的计算．