Question

5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线BC于点D，E是AC上一点，DE=DB，以D为圆心，DC为半径作⊙D
（1）求证：AB是⊙D的切线；
（2）求证：AC+CE=AB；
（3）若⊙D的半径为1，∠BAC=45°，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）过点D作DF⊥AB于F，求出DC=DF等于半径，得出AB是⊙D的切线．
（2）先证明△CDE≌△DBF（HL），根据全等三角形对应边相等及切线的性质的EC=FB，得出AC+CE=AB．
（3）先求得∠ABC=45°，进而求得∠FDB=45°，然后根据S_阴影=S_△DFB-S_扇形求得即可．

解答 （1）证明：过点D作DF⊥AB于F；
∵∠ACB=90°
∴AC⊥BC
∵AD平分∠BAC，DF⊥AB，
∴DC=DF
∴AB是⊙D的切线；

（2）证明：在RT△CDE和RT△DBF中；
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DF}\\{DE=DB}\end{array}\right.$
∴Rt△CDE≌Rt△DBF（HL），
∴EC=FB．
∵AC=AF，
∴AC+EC=AF+FB，
即AC+CE=AB．

（3）解：在RT△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=45°，
∴∠ABC=45°，
又∵∠DFB=90°，
∴∠FDB=45°，DF=FB=1，
∴S_阴影=S_△DFB-S_扇形=$\frac{1}{2}$×1×1-$\frac{45π×{1}^{2}}{360}$=$\frac{4-π}{8}$．

点评 本题考查的是切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；全等三角形的判断，全等三角形的对应边相等；扇形面积的计算等．