Question

如图，直线y=kx+b（k≠0）与x轴、y轴分别交于点A（3，0），B（0，），圆心P的坐标为（-1，0），⊙P与y轴相切于点O；
（1）求直线y=kx+b的解析式及∠BAO，∠PBO的度数；
（2）若⊙P沿x轴向右移动，当⊙P与该直线相切时，求点P的坐标；
（3）在⊙P沿x轴向右移动的过程中，当⊙P与该直线相交时，求横坐标为整数的点P的坐标．

Answer 1

解：（1）把A、B的坐标分别代入解析式为：
，
解得：，
∴直线y=kx+b的解析式为：y=-，
∵tan∠BAO=，∴∠BAO=30°，
∵tan∠PBO=，∴∠PBO=30°，

（2）连接CP₁在直角三角形PBO和直角三角形ABO中由勾股定理可以求出：
AB=2，OB=，AO=3，OP=1，PB=2，
由勾股定理的逆定理可知△ABP为直角三角形．
∴连接CP₁⊥AB，
∴△ABP∽△ACP₁
∴
∴
∴AP₁=2
同理可以求出AP₂=2
∴OP₁=1，OP₂=5
∴当⊙P与该直线相切时，P（1，0）或P（5，0）

（3）由（2）可知当点P在P₁、P₂之间移动时，⊙P与直线相交，
∵大于1小于5的整数有：2，3，4．
∴⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的坐标有：P（2，O），P（3，0），（或4，0）．

分析：（1）要求直线的解析式，用待定系数法将已知点的坐标代入就直接可以求出解析式．
（2）连接CP₁，根据相似三角形的性质求出AP₁的值，求出P₁O，就可以求出P₁的坐标．
（3）利用（2）的方法求出P₂的坐标，从而可以求出P₁P₂之间的整数点的坐标．
点评：本题是一次函数的综合试题，考查了用待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理的运用，圆切线的性质，30°的特殊直角三角形的性质