Question

如图，AB∥CD，P为定点，E、F分别是AB、CD上的动点．
（1）求证：∠P=∠BEP+∠PFD；
（2）如图2，若M为CD上一点，∠FMN=∠BEP，且MN交PF于N．试说明∠EPF与∠PNM的关系，并证明你的结论；
（3）移动E、F使得∠EPF=90°，如图3，作∠PEG=∠BEP，求

∠AEG

∠PFD

的值．

Answer 1

考点：平行线的性质

专题：几何图形问题,证明题

分析：（1）过P作PQ平行于AB，由AB与CD平行，得到PQ与CD平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，再由∠EPF=∠1+∠2，等量代换就可得证；
（2）由（1）中的结论∠EPF=∠BEP+∠PFD，根据∠FMN=∠BEP，等量代换再利用外角性质即可得证；
（3）由（1）中的结论∠EPF=∠BEP+∠PFD，设设∠PFD=x，则∠BEP=90°-x，根据∠PEG=∠BEP=90°-x，利用平角定义表示出∠AEG，即可求出所求比值．

解答：解：（1）过P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠BEP=∠1，∠2=∠PFD，
∵∠EPF=∠1+∠2，
∴∠EPF=∠BEP+∠PFD；
（2）由（1）的结论∠EPF=∠BEP+∠PFD，
∵∠FMN=∠BEP，
∴∠EPF=∠FMN+∠PFD，
∵∠PNM为△MNF的外角，
∴∠PMN=∠FMN+∠PFD，
则∠EPF=∠PMN；
（3）由（1）的结论∠EPF=∠BEP+∠PFD=90°，
设∠PFD=x，则∠BEP=90°-x，
∵∠PEG=∠BEP=90°-x，
∴∠AEG=180°-2（90°-x）=2x，
则

∠AEG

∠PFD

=

2x

x

=2．

点评：此题考查了平行线的性质，三角形外角性质，以及平角定义，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．