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    如图，P为正方形ABCD的对称中心，正方形ABCD的边长为，tan∠ABO=3．直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以个单位每秒速度运动，运动时间为t．
    求：（1）分别写出A、C、D、P的坐标；
    （2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？
    （3）△HCR面积S与t的函数关系式；并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形时t的值及S的最大值．

    【答案】分析：（1）根据三角函数即可求得OA，OB的长，即可得到A则坐标，C的坐标，进而求得D，P的坐标；
    （2）分∠MDR=45°和∠DRM=45°两种情况求得t的值；
    （3）分0＜t≤4和t＞4两种情况求得函数解析式，然后分当CR∥AB时，当AR∥BC时，当BR∥AC三种情况求得t的值，进而求得函数的最大值．
    解答：解：（1）A（0，3）C（4，1），D（3，4），P（2，2）
    （2）过点N作NE⊥AO，于点E，过点A作AF⊥MS于点F，MS⊥x轴于点S，
    由（1）可得：B（1，0），
    ∴直线AB的解析式为：y=-3x+3①；
    直线OP的解析式为：y=x②，
    ①②联立得，
    ∴N（，），
    直线CD的解析式是：y=-3x+13，
    解方程组：，解得：．
    则M的坐标是：（，），
    ∴ON=，OM=，
    ∵AD2+DM2=AF2+MF2，
    10+MD2=（）2+（）2，
    ∴DM=，
    AN==．
    当∠MDR=45°时，
    ∵∠AON=45°，
    ∴∠MDR=∠AON，
    ∵AN∥DM，
    ∴∠ANO=∠DMP，
    ∴△ANO与△DMR相似，则△ANO∽△RMD，
    ∴，即=，
    解得：MR=，
    则OR=OM-MR=2．
    ∴t=2，
    同理可得：当∠DRM=45°时，t=3，△ANO与△DMR相似，
    综上可知：t=2或3时当△ANO与△DMR相似；
    （3）①∵R速度为，H速度为1，且∠ROH=45°，
    ∴tan∠ROH=1，
    ∴RH始终垂直于x轴，
    ∴RH=OH=t，
    设△HCR的边RH的高为h，
    ∴h=|4-t|．
    ∴S△HCR=h•t2=|-t2+4t|，
    ∴S=-t2+2t（0＜t＜4）；S=t2-2t（t＞4）；
    ②以A、B、C、R为顶点的梯形，有两种可能：
    1．顶边和底边分别为BC、AR，此时BC∥AR．
    延长AD，使其与OM相交于点R，
    ∴AD的斜率=tan∠BAO=，
    ∴直线AD为：y=+3．
    ∴R坐标为（4.5，4.5），
    ∴此时四边形ABCR为梯形为梯形，
    ∴t=4.5
    2．顶边、底边分别为CR、AB，此时CR∥AB，且R与M重合．
    ∴CD的斜率=-3，且直线CD过点C，
    ∴直线CD为：y-1=-3•（x-4），
    ∴y=-3x+13，
    ∵OM与CD交于点M（即R），
    ∴M为（，），
    ∴此时四边形ABCR为梯形，
    ∴t=，
    ∴当CR∥AB时，t=，S=，
    当AR∥BC时，t=，S=，
    当BR∥AC时，t=，S=．
    （3）①分两种情况：
    一、0＜t≤4，H在E点左侧；
    易知RH=t，HE=4-t，故S=RH•HE=t（4-t）=-t2+2t；
    二、t＞4，H在E点右侧；
    易知RH=t，HE=t-4，故S=RH•HE=t（t-4）=t2-2t；
    ②若以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形，分三种情况：
    一、CR∥AB；此时R、M重合，
    由C（4，1），D（3，4），可求得直线CD：y=-3x+13；
    当x=y时，-3x+13=x，解得x=；
    即M（即R）点横坐标为，H（，0）；
    故t=，代入S=-t2+2t（0＜t≤4）可得S=；
    同理可求得：
    二、AR∥BC时，t=，S=；
    三、BR∥AC时，t=，S=；
    综合①②可得：
    S=-t2+2t（0＜t≤4）；（1分）
    S=t2-2t（t＞4）．（1分）
    当CR∥AB时，t=，（1分）
    S最大=；（1分）
    当AR∥BC时，t=，S最大=；（1分）
    当BR∥AC时，t=，S最大=．（1分）
    点评：本题主要考查了正方形的性质，以及二次函数的性质，正确求得函数的解析式是解题的关键．
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    		2
    个单位每秒速度运动，运动时间为t．求：
    （1）C的坐标为
     
    ；
    （2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？
    （3）△HCR面积S与t的函数关系式；并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形时t的值及S的值．

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    ，tan∠ABO=3，直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以
    		2
    个单位每秒速度运动，运动时间为t，求：
    （1）直接写出A、D、P的坐标；
    （2）求△HCR面积S与t的函数关系式；
    （3）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？
    （4）求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形时t的值．

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    		2
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