Question

已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC，延长BA到E，使AE=CD，连接DE．
（1）试说明：△DEB是等腰三角形；
（2）若CD﹕AB=3﹕5，过点B作BF⊥DE于F，且BF平分∠ABC，求△BEF与四边形BCDF的面积之比；
（3）在（2）的条件下，求cos∠FDB的值．

Answer 1

考点：梯形,等腰三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）通过SAS证得△DAE≌△BCD，则其对应边相等：DE=BD，故△DEB是等腰三角形；
（2）延长ED和BC交于O，构建全等三角形△EBF≌△OBF（ASA）、相似三角形△OCD∽△OBE，利用全等三角形的性质和相似三角形的性质来求△BEF与四边形BCDF的面积之比；
（3）欲求cos∠FDB的值，只需求得DF与BD的比值即可，所以将其转化为求DF与DE的比值来解答．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠DAB=∠CBA，DC∥AB，
∴∠C+∠CBA=180°，
∵∠DAE+∠DAB=180°，
∴∠C=∠DAE，
在△DAE和△BCD中，

AE=CD ∠DAE=∠C AD=BC

，
∴△DAE≌△BCD（SAS）；
∴DE=BD，
∴△DEB是等腰三角形；

（2）设DC=3a，AB=5a，
延长ED和BC交于O，
∵BF⊥DE，BF平分∠ABC，
∴∠BFE=∠BFO=90°，∠OBF=∠EBF，
在△EBF和△OBF中，

∠BFE=∠BFO BF=BF ∠EBF=∠OBF

，
∴△EBF≌△OBF（ASA），
∴S_△EBF=S_△OBF=

1

2

S_△OBE，
设△OBE的面积为x，则△EBF的面积为

1

2

x，
∵DC∥AB，
∴△OCD∽△OBE，
∴

S△OCD

S△OBE

=（

CD

BE

）²=（

3

3+5

）²=

9

64

，
∴△BEF与四边形BCDF的面积之比：

1 2 x

1 2 x- 9 64 x

=

32

23

；

（3）在△OCD与△OEB中，∵CD：BE=OD：OE=3：8，EF=OF
∴DF：DE=1：5，
∵DE=BD，
∴DF：BD=1：5．
直角△DBF中，cos∠FDB=

DF

BD

=

1

5

．

点评：本题考查了梯形、等腰三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，注意此题中的辅助线的作法，以及根据已知线段间的比例关系推知线段DF与DE间的比例关系的转化都是解题的关键．