Question

△ABC的三边为a、b、c，下列条件：①∠A=∠B-∠C；②∠A：∠B：∠C=3：4：5；③a²=（b+c）（b-c）；④a：b：c=5：12：13，其中能判断△ABC是直角三角形的个数有________．

Answer 1

3
分析：根据三角形的内角和定理和已知求出最大角∠B的度数，即可判断①；设∠A=3x°，∠B=4x°，∠C=5x°根据三角形的内角和定理求出x，求出∠C即可判断②；根据已知得出a²+c²=b²，根据勾股定理的逆定理即可判断③；设a=5k，b=12k，c=13k求出a²+c²=b²，根据勾股定理的逆定理即可判断④．
解答：①∵∠A=∠B-∠C，
∴∠A+∠C=∠B，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠B=180°，
∴∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴①正确；
②设∠A=3x°，∠B=4x°，∠C=5x°，
则3x+4x+5x=180，
x=15，
∴∠C=5x°=75°，
即△ABC不是直角三角形，∴②错误；
③a²=（b+c）（b-c），
∴a²=b²-c²，
∴a²+c²=b²，
∴△BAC是直角三角形，∴③正确；
④∵a：b：c=5：12：13，
∴设a=5k，b=12k，c=13k，
∵a²+b²=169k²，c²=169k²，
∴a²+b²=c²，
∴△ABC是直角三角形，∴④正确；
故答案为：3．
点评：本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理的应用，主要考查学生的辨析能力，题目比较典型，难度适中．