Question

如图①，某产品标志的截面图形由一个等腰梯形和抛物线的一部分组成，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=20cm，DC=30CM，∠ADC=45°，对于抛物线部分，其顶点为CD的中点O，且过A、B两点，开口终端的连线MN平行且等于DC。

（1）如图①所示，在以点O为原点，直线OC为x轴的坐标系内，点C的坐标为（15，0），试求A、B两点的坐标；
（2）求标志的高度（即标志的最高点到梯形下底所在直线的距离）；
（3）现根据实际情况，需在标志截面图形的梯形部分的外围均匀镀上一层厚度为3cm的保护膜，如图②，请在图中补充完整镀膜部分的示意图，并求出镀膜的外围周长。

Answer 1

解：（1）作，，垂足分别为E，F
∵
∴四边形为矩形
∴，
又∵
∴
∴
又∵
∴
又
∴
∴点A，B的坐标分别为，。
（2）设抛物线的函数解析式为
由点在其图象上得，解得
∴抛物线的函数解析式为
又∵
∴点M，N关于y轴对称
∴点N的横坐标为15，代入得
故标志的高度为cm。

（3）镀膜示意图如下：

由示意图可知，镀膜外围周长l由四条线段长和四条半径为3cm的弧长构成
故
所以镀膜的外围周长为cm。