Question

在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点P在直线y=-x+m上，且AP=OP=4
求（1）∠POA的正弦值和直线OP的函数解析式；
（2）求m的值．

Answer 1

解：（1）∵OA=4，OP=PA=4，
∴△OPA是等边三角形，
∴∠POA=60°，
∴sin∠POA=；
过点P作PM⊥x轴于M，
①当点P在第一象限时，
∵AP=OP，
∴点P在线段OA的垂直平分线PM上，
∴OM=OA=2，OP=4，
在Rt△OPM中，由勾股定理得出：
PM===2；
②当点P在第四象限时，根据对称性，点P的坐标为P^′（2，-2），
∴点P的坐标为P（2，2）或P^′（2，-2），
设直线OP的解析式为：y₁=kx，
把P的坐标为P（2，2）代入解析式：
∴2=2k，
解得：k=，
∴y₁=x，
同理可得：y₂=-x，
∴直线OP的解析式为：y₁=x，或y₂=-x，

（2）由已知AP=OP，点P在线段OA的垂直平分线PM上．
∴OA=AP=OP=4，
∴△AOP是等边三角形．
如图，当点P在第一象限时，OM=2，OP=4．
在Rt△OPM中，PM=，
∴P（2，）．
∵点P在y=-x+m上，
∴m=2+．
当点P在第四象限时，根据对称性，P′（2，-）．
∵点P′在y=-x+m上，
∴m=2-．
则m的值为2+或2-．
分析：（1）根据点A的坐标是（4，0），且AP=OP=4，得出△OPA是等边三角形，求出∠POA的正弦值，利用当点P在第一象限时，
以及当点P在第四象限时，分别求出直线OP的函数解析式即可；
（2）根据已知条件AP=OP=4先求出P点坐标，然后将P点坐标代入直线方程y=-x+m，即可求出m的值．
点评：此题主要考查了一次函数的应用，做题时要注意数形结合思想和分类讨论思想的运用，属于中档题．