Question

将边长为a的正方形ABCD与边长为b的正方形GHEF如图所示摆放在一起（a≥2b），连接BD，DF，FB，将正方形GHEF绕点A逆时针旋转．在旋转过程中△BDF的面积的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：过F作BD的垂线，设垂足为H，由于BD是定值，△BDF的面积最大，则FH最大，△BDF的面积最小，则FH最小；可据此画出图形，求出两种情况下△FDH的面积，从而得到其取值范围．

解答：
解：∵正方形ABCD的边长为a，正方形GHEF的边长为b，
∴BD=

2

a，AF=

2

b，
作FH⊥BD于H点，连接AF．则S_△BDF=

1

2

×BD×FH（如图2），
因为小正方形AEFG绕A点旋转任意角度，所以点F离线段BD的距离是变化的，即FH的长度是变化的．
由于BD得长度是定值，所以当FH取得最大值时S_△BDF最大，当FH取得最小值时S_△BDF最小．
所以当点F离BD最远时，FH取得最大值，此时点F、A、H在同一条直线上（如图3所示）；
当点F离BD最近时，FH取得最小值，此时点F、A、H也在同一条直线上（如图4所示）．
在图3中，S_△BDF=

1

2

BD×FH=

1

2

×

2

a（

2

b+

1

2

2

a）=ab+

1

2

a²，
在图4中，S_△BDF=

1

2

BD×FH=

1

2

×

2

a（

1

2

2

a-

2

b）=

1

2

a²-ab，
∴S_△BDF的取值范围是：

1

2

a²-ab≤S_△BDF≤

1

2

a²+ab．
故答案为

1

2

a²-ab≤S_△BDF≤

1

2

a²+ab．

点评：本题考查了旋转的性质，关键是根据题意，确定旋转中心，旋转方向，旋转角，利用角的和差关系求解．