Question

18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为4，直线l与⊙O相切，切点为P，l∥BC，l与BC间的距离为7．
（1）仅用无刻度的直尺，画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写画法）．
（2）求弦BC的长．

Answer 1

分析 （1）连结PO并延长交BC于Q，然后连结AQ并延长交⊙O于D，则弦AD为所求；
（2）连结OC，如图，根据切线的性质得OP⊥l，则根据平行线的性质得PQ⊥BC，则根据垂径定理得BQ=CQ，然后在Rt△OCQ中利用勾股定理计算出CQ，则利用BC=2CQ求解．

解答 解：（1）如图，

（2）连结OC，如图，
∵直线l与⊙O相切，切点为P，
∴OP⊥l，
而l∥BC，
∴PQ⊥BC，
∴BQ=CQ，
∵PQ=7，OP=OC=4，
∴OQ=3，
在Rt△OCQ中，CQ=$\sqrt{O{C}^{2}-O{Q}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴BC=2CQ=2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理．作图的关键是确定△ABC某一边的中点，而这个问题可利用垂径定理解决．