Question

如图，二次函数y=ax²的图象与一次函数y=x+b的图象相交于A（-2，2），B两点，从点A和点B分别引平行于y轴的直线与x轴分别交于C，D两点，点P（t，0），Q（4，t+3）分别为线段CD和BD上的动点，过点P且平行于y轴的直线与抛物线和直线分别交于R，S．
（1）求一次函数和二次函数的解析式，并求出点B的坐标；
（2）指出二次函数中，函数y随自变量x增大或减小的情况；
（3）当SR=2RP时，求t的值；
（4）当S_△BRQ=15时，求t的值．

Answer 1

分析：（1）将A点的坐标分别代入直线和抛物线中，即可求得两函数的解析式，然后联立两函数可求出B点坐标；
（2）可根据抛物线的对称轴和开口方向进行判断；
（3）可分别求出当x=t时，S，R的纵坐标，RP为R的纵坐标，SR为S，R的纵坐标差的绝对值，据此可求出t的值．（也可理解为SR为当x=t时，两函数的函数值的差，据此可列出关于t的方程，可求出t的值）；
（4）本题可先求出BQ的长，然后根据R、B的横坐标求出△BRQ底边BQ上的高，由此可得出关于三角形BRQ的面积与t的函数关系式，将S=15代入函数式中即可求出t的值．

解答：解：（1）由题意知点A（-2，2）在y=ax²的图象上，又在y=x+b的图象上所以得
2=a（-2）²和2=-2+b，
∴a=

1

2

，b=4．
∴一次函数的解析式为y=x+4．
二次函数的解析式为y=

1

2

x²．
由

y=x+4 y= 1 2 x2

，
解得

x=-2 y=2

或

x=4 y=8

，
所以B点的坐标为（4，8）．

（2）对二次函数y=

1

2

x²：
当x＜0时，y随自变量x的增大而减小；
当x＞0时，y随自变量x的增大而增大．

（3）因过点P（t，0）且平行于y轴的直线为x=t，
由

x=t y=x+4

得

x=t y=t+4

，
所以点S的坐标（t，t+4）．
由

x=t y= 1 2 x2

得

x=t y= 1 2 t2

，
所以点R的坐标（t，

1

2

t²）．
所以SR=t+4-

1

2

t²，RP=

1

2

t²．
由SR=2RP得t+4-

1

2

t²=2×

1

2

t²，
解得t=-

4

3

或t=2．
因点P（t，0）为线段CD上的动点，
所以-2≤t≤4，
所以t=-

4

3

或t=2．

（4）因BQ=8-（t+3）=5-t，点R到直线BD的距离为4-t，
所以S_△BPQ=

1

2

（5-t）（4-t）=15．
解得t=-1或t=10．
因为-2≤t≤4，
所以t=-1．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形面积的求法、函数图象交点等重要知识点．综合性强，考查学生数形结合的数学思想方法．