Question

如图，D，E在以AB为直径的半圆上，F，C在AB上，CDEF为正方形，若正方形边长为1，AC=a，BC=b，则下列式子中，不正确的是（ ）

A．a-b=1
B．ab=1
C．a+b=
D．a²+b²=5

Answer 1

【答案】分析：连OD，则OD²=OC²+CD²=+1²=，即OD=，所以AB=，即a+b=；由AB为直径，则∠ADB=90°，CDEF为正方形，DC²=AC•BC，即ab=1；再由这两个关系式通过计算可判断另两个选项的正误．
解答：解：∵OD²=OC²+CD²=+1²=，即OD=，
∴AB=，即a+b=；
故C选项对；
又∵AB为直径，则∠ADB=90°，CDEF为正方形，
∴CD⊥AB，
∴DC²=AC•BC（射影定理），
即ab=1；
故B选项对；
∵（a-b）²=（a+b）²-4ab=（）²-4×1=1，则a-b=1，
故A选项对；
a²+b²=（a+b）²-2ab=（）²-2×1=3．
故D选项错；
故选D．
点评：本题考查了圆周角定理：在同圆和等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了勾股定理与代数式的变形和计算．