Question

如图，自正方形ABCD的顶点A引两条射线分别交BC、CD于E、F，∠EAF=45°的前提下，在保持∠EAF=45°的前提下，当点E、F分别在BC、CD上移动时，求证：BE+DF=EF．

Answer 1

证明：如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，
AG=AF，GB=DF，∠BAG=∠DAF，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAG=∠BAG+∠BAE=∠DAF+∠BAE=90°-∠EAF=90°-45°=45°，
∴∠EAG=∠EAF，
在△AEG和△AEF，，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EG=EF，
∵BE+GB=EG，
∴BE+DF=EF．
分析：把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，根据旋转的性质可得AG=AF，GB=DF，∠BAG=∠DAF，再求出∠EAG=45°，从而得到∠EAG=∠EAF，再利用“边角边”证明△AEG和△AEF全等，根据全等三角形对应边相等可得EG=EF，再根据BE+GB=EG代换即可．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，利用旋转的性质，构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．