Question

如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（　　）

• A、

  12

  5

• B、

  6

  5

• C、

  24

  5

• D、不确定

Answer 1

分析：过P点作PE⊥AC，PF⊥BD，由矩形的性质可证△PEA∽△CDA和△PFD∽△BAD，根据

PE

CD

=

PA

CA

和

PF

AB

=

PD

BD

，即

PE

3

=

PA

5

和

PF

3

=

PD

5

，两式相加得PE+PF=

12

5

，即为点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和．

解答：解：法1：过P点作PE⊥AC，PF⊥BD
∵矩形ABCD
∴AD⊥CD
∴△PEA∽△CDA
∴

PE

CD

=

PA

CA

∵AC=BD=

32+42

=5
∴

PE

3

=

PA

5

…①
同理：△PFD∽△BAD
∴

PF

AB

=

PD

BD

∴

PF

3

=

PD

5

…②
∴①+②得：

PE+PF

3

=

PA+PD

5

=

AD

5

=

4

5

∴PE+PF=

12

5

即点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是

12

5

．
法2：连结OP．
∵AD=4，CD=3，
∴AC=

32+42

=5，
又∵矩形的对角线相等且互相平分，
∴AO=OD=2.5cm，
∴S_△APO+S_△POD=

1

2

×2.5•PE+

1

2

×2.5•PF=

1

2

×2.5（PE+PF）=

1

4

×3×4，
∴PE+PF=

12

5

．

点评：根据矩形的性质，结合相似三角形求解．