Question

设f(x)=

x2

x2+1

，定义f（1）是代数式

x2

x2+1

当x=1时的值，即f(1)=

12

12+1

=

1

2

，同理f(2)=

22

22+1

=

4

5

，f(

1

2

)=

( 1 2 )2

( 1 2 )2+1

=

1

5

…，根据此运算求f(1)+f(

1

2

)+f(2)+f(

1

3

)+f(3)+f(

1

4

)+f(4)+…+f(

1

n

)+f(n)的值．（用含n的代数式表示）

Answer 1

分析：分别求出f（3），f（

1

3

），f（4），f（

1

4

）的值代入原式寻找规律得f（2）+f（

1

2

）=1，f（3）+f（

1

3

）=1，f（4）+f（

1

4

）=1，原题中共有n-1个1，再加上

1

2

，可得原式的值为n-

1

2

．

解答：解：由题意可知f（3）=

32

32+1

=

9

10

，f（

1

3

）=

( 1 3 )2

( 1 3 )2+1

=

1

10

，f（4）=

16

17

，f（

1

4

）=

1

17

，
∴f（2）+f（

1

2

）=1，f（3）+f（

1

3

）=1，f（4）+f（

1

4

）=1，…f（n）+f（

1

n

）=1，
∴原式=

1

2

+（n-1）=n-

1

2

．

点评：解决此类问题的关键是结合题意，总结规律可简化计算．