Question

在矩形ABCD中，AB=8cm，AD=10cm，将四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH．
（1）证明四边形EFGH是矩形；
（2）试计算线段AH的长度．

Answer 1

（1）证明：由折叠可知：∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠4=∠2+∠3，即∠1+∠4=∠HEF，
∵∠1+∠4+∠HEF=180°，
∴∠HEF=90°
同理可得：∠EFG=90°，∠FGH=90°，∠EHG=90°．
∴四边形EFGH是矩形．

（2）解：由折叠可知：AE与EL重合，BE与EL重合，所以AE=BE=4，
∵由（1）知，四边形EFGH是矩形，
∴∠1=∠DHG（同角的余角相等）．
又∵∠A=∠D=90°
∴△AEH∽△DHG，
∴AH：AE=DG：DH，即AH：4=4：（10-AH），
∴AH=2或8，
如图这样折叠，8舍去，取AH=2．
分析：（1）根据折叠的性质推知∠1=∠2，∠3=∠4，则根据邻补角的定义易求∠HEF=90°．同理推知四边形EFGH的其它三个内角都是90°，得证；
（2）通过相似三角形△AEH∽△DHG的对应边成比例得到AH：AE=DG：DH，即AH：4=4：（10-AH），据此可以求得AH的长度（AH＜AB）．
点评：本题综合考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及折叠问题．折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．