Question

10．如图，AB是⊙O的直径，延长OB至P，使BP=OB，点C为圆上除A、B外的任一点．设∠PCB=α，∠POC=β．则tanα•tan$\frac{β}{2}$的值为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 首先过点B作BD⊥BC，垂足为B，交CP于点D，连接AC，易证得BD∥AC，证得△PBD∽△PAC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得BD：AC的值，又由tan$\frac{1}{2}$β=$\frac{BC}{AC}$，tanα=$\frac{BD}{BC}$，即可求得答案．

解答 解：过点B作BD⊥BC，垂足为B，交CP于点D，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC∥BD，
∴△PBD∽△PAC，
∴BD：AC=PB：PA，
∵BP=OB，OA=OB，
∴$\frac{BD}{AC}$=$\frac{BP}{AP}$=$\frac{1}{3}$；
∵∠A=$\frac{1}{2}$∠POC=$\frac{1}{2}$β，
∴tan$\frac{1}{2}$β=$\frac{BC}{AC}$，
∵tanα=$\frac{BD}{BC}$，
∴tanα•tan$\frac{β}{2}$=$\frac{BD}{BC}$•$\frac{BC}{AC}$=$\frac{BD}{AC}$=$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 此题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．