Question

⊙O的两条弦AB，CD相交于点E，
（1）若AB=CD，且AB=8，AE=5，求DE的长；
（2）若AB是⊙O的直径，AB⊥CD，且AE=2，CD=8，求⊙O的半径．

Answer 1

解：（1）如图甲，当点C在AB的左侧时，
∵AB=CD，
∴=，
∴=，
∴∠B=∠C，
∴CE=BE，
∴DE=AE=5；
如图乙，当点C在AB的右侧时，同理：DE=BE=AB-AE=3，

（2）如图丙，若点A在CD的下方，连结OC，
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE=CD=4，
设OC=x，则OE=x-2，
∵AB⊥CD，
∴OE²+CE²=OC²，即（x-2）²+4²=x²，
解得：x=5．
如图丁，若点A在CD的上方，则AB＜2AE=4，与CD=8产生矛盾（或与上类似地计算得OE为负数）．
答：⊙O的半径为5．
分析：（1）如图甲，当点C在AB的左侧时，由AB=CD可知=，故可得出=，∠B=∠C，CE=BE，
故可得出DE的长，当点C在AB的右侧时（如图乙），同理可得DE=BE=AB-AE；
（2）如图丙，若点A在CD的下方，连结OC，因为AB是⊙O的直径，AB⊥CD，故可得出CE=CD，
设OC=x，则OE=x-2，在Rt△COE中利用勾股定理可求出x的值；如图丁，若点A在CD的上方，则AB＜2AE=4，与CD=8产生矛盾（或与上类似地计算得OE为负数），由此即可得出结论．
点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，在解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．