Question

如图，已知抛物线y=ax²+c交x轴于点A（-1，0）和点B，交y轴于点C（0，-1）．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△ACP相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法直接将点的坐标代入抛物线的解析式求出a、c的值就可以求出抛物线的解析式．
（2）利用抛物线的解析式，求出点A、B、C的坐标，求出△ABC的形状，利用平行线的性质求出∠PAB的度数，将四边形分为两个三角形的面积求和就可以了．
（3）假设存在与△ACP相似的三角形，从点M在y轴的左侧和在y轴的右侧的不同对应角根据相似三角形的性质分别考虑△AMG∽△PCA，△MAG∽△PCA求出其值就可以了．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+c过A（-1，0）和C（0，-1）
∴

a+c=0 c=-1

，
解得

a=1 c=-1

∴y=x²-1
（2）令y=0，x²-1=0，
解得x₁=1，x₂=-1
∴B（1，0）
∵A（-1，0），C（0，-1）
∴OA=OB=OC=1，
∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=45°，
∵AP∥CB，
∴∠PAB=45°
过点P作PE⊥x轴于E，则△APE为等腰直角三角形

令OE=a，则PE=a+1，
∴P（a，a+1）
∵点P在抛物线y=x²-1上，
∴a+1=a²-1
解得a₁=2，a₂=-1（不符合题意）
∴PE=3
∴四边形ACBP的面积S=

1

2

AB•OC+

1

2

AB•PE
=

1

2

×2×1+

1

2

×2×3
=4；

（3）假设存在
∵∠PAB=∠BAC=45°，
∴PA⊥AC．
∵MG⊥x轴于点G，
∴∠MGA=∠PAC=90°．
在Rt△AOC中，OA=OC=1∴AC=

2

．
在Rt△PAE中，AE=PE=3∴AP=3

2

 
设M点的横坐标为m，则M （m，m²-1）
①点M在y轴左侧时，则m＜-1

（ⅰ） 当△AMG∽△PCA时，有

AG

PA

=

MG

CA

∵AG=-m-1，MG=m²-1
即

-m-1

3 2

=

m2-1

2

解得m₁=-1（舍去） m₂=

2

3

（舍去）
（ⅱ） 当△MAG∽△PCA时有

AG

CA

=

MG

PA

即 

-m-1

2

=

m2-1

3 2

解得：m₁=-1（舍去），m₂=-2
∴M（-2，3）
②点M在y轴右侧时，则m＞1

（ⅰ） 当△AMG∽△PCA时有

AG

PA

=

MG

CA

∵AG=m+1，MG=m²-1
∴

m+1

3 2

=

m2-1

2

解得m₁=-1（舍去） m₂=

4

3

∴M（

4

3

，

7

9

）
（ⅱ） 当△MAG∽△PCA时有

AG

CA

=

MG

PA

即 

m+1

2

=

m2-1

3 2

解得：m₁=-1（舍去），m₂=4，
∴M（4，15），
∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似
M点的坐标为（-2，3），（

4

3

，

7

9

），（4，15）．

点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，平行线的性质，相似三角形的判定及性质及多边形的面积．