Question

如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．求证：AB=DC，BC=AD．

Answer 1

分析：作出辅助线，利用射影定理以及四点共圆的性质得出EFOQ四点共圆，BECQ四点共圆，进而得出四边形ABCD是平行四边形，从而得出答案即可．

解答：证明：作CQ⊥PD于Q，连接EO，EQ，EC，OF，QF，CF，
所以PC²=PQ•PO（射影定理），
又PC²=PE•PF，
所以EFOQ四点共圆，
∠EQF=∠EOF=2∠BAD，
又∠PQE=∠OFE=∠OEF=∠OQF，
而CQ⊥PD，所以∠EQC=∠FQC，因为∠AEC=∠PQC=90°，
故B、E、C、Q四点共圆，
所以∠EBC=∠EQC=

1

2

∠EQF=

1

2

∠EOF=∠BAD，
∴CB∥AD，
所以BO=DO，即四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，BC=AD．

点评：此题主要考查了四点共圆的性质以及射影定理，根据已知得出EFOQ四点共圆，BECQ四点共圆是解题关键．