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如图,已知抛物线l1:y=x2-4的图象与x轴相交于A、C两点,B是抛物线l1上的动点(B不与A、C重合),抛物线l2与l精英家教网1关于x轴对称,以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D.
(1)求l2的解析式;
(2)求证:点D一定在l2上;
(3)?ABCD能否为矩形?如果能为矩形,求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件,则求此矩形的面积);如果不能为矩形,请说明理由.
注:计算结果不取近似值.
分析:(1)根据l1的解析式可求l1与x轴的交点为A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0,-4),l2与l1关于x轴对称,实际上是l2与l1的顶点关于x轴对称,即l2的顶点为(0,4),设顶点式,可求抛物线l2的解析式;
(2)平行四边形是中心对称图形,A、C关于原点对称,则B、D也关于原点对称,设点B(m,n),则点D(-m,-n),由于B(m,n)点是y=x2-4上任意一点,则n=m2-4,∴-n=-(m2-4)=-m2+4=-(-m)2+4,可知点D(-m,-n)在l2y=-x2+4的图象上;
(3)构造∠ABC=90°是关键,连接OB,只要证明OB=OC即可,为求OB长,过点B作BH⊥x轴于H,用B的坐标为(x0,x02-4),可求OB,用OB=OC求x0,再计算面积.
解答:解:(1)设l2的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),
∵l1与x轴的交点为A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0,-4),l2与l1关于x轴对称,
∴l2过A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0,4),(1分)精英家教网
4a-2b+c=0
4a+2b+c=0
c=4
(2分)
∴a=-1,b=0,c=4,
即l2的解析式为y=-x2+4.(3分)
(还可利用顶点式、对称性关系等方法解答)

(2)设点B(m,n)为l1:y=x2-4上任意一点,则n=m2-4,(*)
∵四边形ABCD′是平行四边形,点A、C关于原点O对称,
∴B、D′关于原点O对称,(4分)
∴点D′的坐标为D′(-m,-n).
由式方程式可知,-n=-(m2-4)=-(-m)2+4,
即点D′的坐标满足y=-x2+4,又D与D′关于y轴对称,
∴点D在l2上.(5分)

(3)?ABCD能为矩形.(6分)
过点B作BH⊥x轴于H,由点B在l1:y=x2-4上,可设点B的坐标为(x0,x02-4),
则OH=|x0|,BH=|x02-4|.
易知,当且仅当BO=AO=2时,?ABCD为矩形.
在Rt△OBH中,由勾股定理得,|x0|2+|x02-4|2=22
(x02-4)(x02-3)=0,
∴x0=±2(舍去)、x0
3
.(7分)
所以,当点B坐标为B(
3
,-1)或B′(-
3
,-1)时,?ABCD为矩形,
此时,点D的坐标分别是D(-
3
,1)、D′(
3
,1).
因此,符合条件的矩形有且只有2个,即矩形ABCD和矩形AB′CD′.(8分)
设直线AB与y轴交于E,显然,△AOE∽△AHB,
EO
AO
=
BH
AH

EO
2
=
1
2+
3

∴EO=4-2
3
.(9分)
由该图形的对称性知矩形ABCD与矩形AB′CD′重合部分是菱形,其面积为
S=2S△ACE=2×
1
2
×AC×EO=2×
1
2
×4×(4-2
3
)=16-8
3
.(10分)
(还可求出直线AB与y轴交点E的坐标解答)
点评:本题是一道函数型综合题,涉及二次函数、相似形、四边形等知识,三个小题的坡度设计很恰当,能较好地体现出试题的区分度,对第2题的证明过程要仔细领悟.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

28、如图,已知抛物线l1:y=x2-4的图象与x有交于A、C两点,
(1)若抛物线l2与l1关于x轴对称,求l2的解析式;
(2)若点B是抛物线l1上的一动点(B不与A、C重合),以AC为对角线,A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D,求证:点D在l2上;
(3)探索:当点B分别位于l1在x轴上、下两部分的图象上时,平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值?若存在,判断它是何种特殊平行四边形,并求出它的面积;若不存在,请说明理由.

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1
2
(x-2)2-2与x轴分别交于O、A两点,将抛物线l1向上平移得到l2,过点A作AB⊥x轴交抛物线l2于点B,如果由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积为16,则抛物线l2的函数表达式为(  )
A、y=
1
2
(x-2)2+4
B、y=
1
2
(x-2)2+3
C、y=
1
2
(x-2)2+2
D、y=
1
2
(x-2)2+1

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(2013•宝安区一模)如图,已知抛物线l1:y=-x2+2x与x轴分别交于A、O两点,顶点为M.将抛物线l1关于y轴对称到抛物线l2.则抛物线l2过点O,与x轴的另一个交点为B,顶点为N,连接AM、MN、NB,则四边形AMNB的面积(  )

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(2011•宝安区一模)如图,已知抛物线l1:y=x2-6x+5与x轴分别交于A、B两点,顶点为M.将抛物线l1沿x轴翻折后再向左平移得到抛物线l2.若抛物线l2过点B,与x轴的另一个交点为C,顶点为N,则四边形AMCN的面积为(  )

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