Question

如图，等边三角形ABC，点E是AB上一点，点D在CB的延长线上，且ED=EC，EF∥AC交BC于点F．
（1）试说明四边形AEFC是等腰梯形；
（2）请判断AE与DB的数量关系，并说明你的理由．

Answer 1

分析：（1）根据平行得出梯形AEFC，根据等边三角形性质得出∠A=∠ACB，根据等腰梯形的判定推出即可；
（2）求出AE=CF，推出∠EFB=∠ACB=∠ABC，推出∠D=∠ECD，根据AAS证出△EFD≌△EBC，得出DF=BC，推出BD=CF即可．

解答：（1）证明：∵EF∥AC，
∴四边形AEFC是梯形，
∵三角形ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，
∴梯形AEFC是等腰梯形；

 （2）解：AE=BD．
 理由是：证法一、
∵EF∥AC，△ABC是等边三角形，
∴∠ACF=∠A=60°
∴∠EFC=180°-60°=120°
∵∠EBF=180°-60°=120°
∴∠EFC=∠EBF=120°
∵ED=EC
∴∠ECD=∠EDB
在△EFC和△EBD中

∠EFC=∠EBD ∠ECF=∠EDB EC=ED

∴△EFC≌△EBD（AAS）
∴CF=DB
∵AE=CF
∴AE=DB

证法二、∵四边形AEFC是等腰梯形，
∴AE=CF，
∵EF∥AC，
∴∠EFB=∠ACB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∴∠ABC=∠EFD，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD，
∵在△EFD和△EBC中

∠EBC=∠EFD ∠EDF=∠ECB ED=EC

，
∴△EFD≌△EBC，
∴DF=BC，
∵BF=BF，
∴BD=CF，
∵AE=CF，
∴AE=BD．

点评：本题考查了等腰梯形的判定，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目综合性比较强，是一道比较好的题目．，