Question

已知，如图，已知点A的坐标是（-

3

，0），点B的坐标是（3

3

，0），以AB为直径作⊙M，交y轴的负半轴于点C，交y正半轴于点D，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接D M并延长交⊙M于点E，过点E作⊙M的切线分别交x轴、y轴于点F、G，求直线FG的解析式；
（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据点A、B的坐标求出OA、OB的长，从而得到⊙M的直径，然后求出半径DM以及OM，再根据勾股定理列式求出OD的长，根据垂径定理可得OC=OD，从而得到点C的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）在Rt△ODM中，利用正切函数值求出∠ODM的度数是30°，再根据切线的定义可得DE⊥FG，然后解直角三角形求出DG的长度，∠DGE=60°，从而可得OG的长度，再利用∠DGE的正切函数值求出OF的长度，从而可得点G、F的坐标，再利用待定系数法求直线解析式解答即可；
（3）根据梯形的定义，分①AB是底边时，PC∥AB，利用点P的纵坐标与点C的纵坐标相等，代入抛物线解析式计算求出点P的横坐标，即可得解；②AC是底边时，PB∥AC，先根据点A、C的坐标得到直线AC的解析式，再根据平行直线的解析式的k值相等求出过点B与AC平行的直线的解析式，然后与抛物线解析式联立求解即可得到点P的坐标；③BC是底边时，AP∥BC，根据点B、C的坐标求出直线BC的解析式，再根据平行直线的解析式的k值相等求出过点A与BC平行的直线的解析式，然后与抛物线解析式联立求解即可得到点P的坐标．

解答：解：（1）∵点A的坐标是（-

3

，0），点B的坐标是（3

3

，0），
∴OA=

3

，OB=3

3

，
∴⊙M的直径=

3

+3

3

=4

3

，
∴⊙M的半径DM=

1

2

×4

3

=2

3

，
OM=2

3

-

3

=

3

，
在Rt△ODM中，根据勾股定理，OD=

DM2-OM2

=

(2 3 )2- 3 2

=3，
根据垂径定理，OC=OD=3，
所以，点C的坐标为（0，-3），
设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
则

3a- 3 b+c=0 27a+3 3 b+c=0 c=-3

，
解得

a= 1 3 b= 2 3 3 c=-3

，
所以，抛物线的解析式为y=

1

3

x²-

2 3

3

x-3；

（2）在Rt△ODM中，tan∠ODM=

OM

OD

=

3

3

，
所以，∠ODM=30°，
∵FG是⊙M的切线，
∴DE⊥FG，
∴∠DGE=90°-30°=60°，
DG=DE÷cos30°=4

3

÷

3

2

=8，
∴OG=DG-OD=8-3=5，
∴OF=OG•tan60°=5

3

，
∴点G（0，-5），F（5

3

，0），
设直线FG的解析式为y=kx+b，
则

b=-5 5 3 k+b=0

，
解得

k= 3 3 b=-5

，
所以，直线FG的解析式为y=

3

3

x-5；

（3）①AB是底边时，PC∥AB，
所以，点P的纵坐标与点C的纵坐标相同，是-3，
即

1

3

x²-

2 3

3

x-3=-3，
整理得，x²-2

3

x=0，
解得x₁=0（为点C坐标，舍去），x₂=2

3

，
所以，点P的坐标为（2

3

，-3）；
②AC是底边时，PB∥AC，由点A（-

3

，0）、C（0，-3）可得直线AC的解析式为y=-

3

x-3，
设直线PB的解析式为y=-

3

x+m，
把点B（3

3

，0）代入得，-

3

×3

3

+m=0，
解得m=9，
所以，直线PB的解析式为y=-

3

x+9，
联立

y=- 3 x+9 y= 1 3 x2- 2 3 3 x-3

，
解得

x1=3 3 y1=0

（为点B的坐标，舍去），

x2=-4 3 y2=21

，
所以，点P的坐标为（-4

3

，21）；
③BC是底边时，AP∥BC，由点B（3

3

，0）、C（0，-3）可得直线BC的解析式为y=

3

3

x-3，
设直线AP的解析式为y=

3

3

x+n，
把点A（-

3

，0）代入得，

3

3

×（-

3

）+n=0，
解得n=1，
所以，直线AP的解析式为y=

3

3

x+1，
联立

y= 3 3 x+1 y= 1 3 x2- 2 3 3 x-3

，
解得

x1=- 3 y1=0

（为点A的坐标，舍去），

x2=4 3 y2=5

，
所以，点P的坐标为（4

3

，5）；
经检验，三种情况时，两底边都不相等，
故存在点P（2

3

，-3）或（-4

3

，21）或（4

3

，5），使以A、B、C、P为顶点的四边形是梯形．

点评：本题考查了二次函数综合题型，主要涉及待定系数法求函数解析式（包括二次函数解析式与一次函数解析式），勾股定理的应用，垂径定理，两平行直线的解析式的k值相等的性质，联立两函数解析式求交点坐标，梯形的两底边平行，（3）要分AB、AC、BC分别是底边三种情况讨论求解．