Question

8．如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，BC=8 cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒2厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1厘米的速度运动，连结AD、AE，设运动时间为t秒．
（1）求AB的长；
（2）当t为多少时，△ABD的面积为10 cm²？
（3）直接写出：当t=$\frac{8}{3}$或8秒时，△ABD≌△ACE．

Answer 1

分析 （1）运用勾股定理直接求出；
（2）首先求出△ABD中BD边上的高，然后根据面积公式列出方程，求出BD的值，分两种情况分别求出t的值；
（3）假设△ABD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等得出BD=CE，分别用含t的代数式表示CE和BD，得到关于t的方程，从而求出t的值．

解答 解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴2AB²=BC²，
∴AB=$\frac{BC}{\sqrt{2}}$=4$\sqrt{2}$cm；

（2）过A作AF⊥BC交BC于点F，则AF=$\frac{1}{2}$BC=4cm，

∵S_△ABD=10cm²
∴AF×BD=20，
∴BD=5cm．
若D在B点右侧，则CD=3cm，t=1.5s；
若D在B点左侧，则CD=13cm，t=6.5s．

（3）动点E从点C沿射线CM方向运动$\frac{8}{3}$秒或当动点E从点C沿射线CM的反向延长线方向运动8秒时，△ABD≌△ACE．
理由如下：（说理过程简要说明即可）
①当E在射线CM上时，D必在CB上，则需BD=CE．
∵CE=t，BD=8-2t
∴t=8-2t，
∴t=$\frac{8}{3}$，
证明：在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠B=∠ACE=45°}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
②当E在CM的反向延长线上时，D必在CB延长线上，则需BD=CE．
∵CE=t，BD=2t-8，
∴t=2t-8，
∴t=8，
证明：在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABD=∠ACE=135°}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴动点E从点C沿射线CM方向运动$\frac{8}{3}$秒或当动点E从点C沿射线CM的反向延长线方向运动8秒时，△ABD≌△ACE．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程，把问题掌握方程解决，属于中考压轴题．