Question

已知：如图，AB是半圆O的直径，OD是半径，BM切半圆于点B，OC与弦AD平行交BM于点C．
（1）求证：CD是半圆O的切线；
（2）若AB的长为4，点D在半圆O上运动，当AD的长为1时，求点A到直线CD的距离．

Answer 1

分析：（1）由OC∥AD，得∠1=∠3，∠2=∠4，证得∠1=∠2，又OC公共，OD=OB，于是△ODC≌△OBC，则∠ODC=∠OBC，而BM切半圆于点B，得到∠OBC=90°，所以∠ODC=90°．
（2）过A作AE垂直CD，E为垂足，连BD，则∠ADB=90°，由∠EDA+∠3=∠4+∠ABD=90°，得到∠EDA=∠ABD，所以Rt△ADE∽Rt△ABD，得到AD²=AE•AB，而AB=4，AD=1，即可得到AE．

解答：（1）证明：如图，
∵OC∥AD，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
而OD=OA，∠3=∠4，
∴∠1=∠2．
又∵OD=OB，OC公共，
∴△ODC≌△OBC，
∴∠ODC=∠OBC，
∵BM切半圆于点B，得到∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°，
∴CD是半圆O的切线；

（2）解：过A作AE垂直CD，E为垂足，连BD，则∠ADB=90°，
∴∠EDA+∠3=∠4+∠ABD=90°，
∴∠EDA=∠ABD，
∴Rt△ADE∽Rt△ABD，
∴AD²=AE•AB，
而AB=4，AD=1，
∴1=4AE，得AE=

1

4

．
所以点A到直线CD的距离为

1

4

．

点评：本题考查了圆的切线的判定方法．经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．当已知直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要连接圆心和这个点，证明这个连线与已知直线垂直即可；当没告诉直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于圆的半径．同时考查了切线的性质和三角形相似的判定和性质．