Question

在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=-x²-2x+3的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D、C关于抛物线的对称轴对称．
（1）求四边形ABCD的面积；
（2）在y轴上找一点P，使△ABP是直角三角形，并求出点P的坐标．

Answer 1

解：（1）设y=0，则y=-x²-2x+3=0，
解得：x=-3或1，
∵点A在点B的左侧，
∴A（-3，0），B（1，0），
设x=0，则y=3，
∴C（0，3），
∵抛物线的对称轴为x=-=-1，
∴D（-2，3），
∵点D、C关于抛物线的对称轴对称，
∴四边形ABCD为梯形，
∴S_ABCD===6；
（2）如图所示：依AB为直径画圆，交y轴于点P，
∵AB为圆的直径，
∴∠APB=90°，
∴三角形APC是直角三角形，
∵OP⊥AB，
∴OP²=AO•BO=3×1=3，
∴OP=，
∴点P（0，）或（0，-）．
分析：（1）设y=0，解一元二次方程求出A、B两点的坐标，令x=0，求出C的坐标，从而求出D的坐标，由题意可得四边形ABCD为梯形，利用梯形的面积公式求出四边形ABCD的面积；
（2）依AB为直径画圆，所画圆于y轴的交点即为所求的点P，有射影定理（或三角形相似）即可求出P的坐标．
点评：本题考查了抛物线和坐标轴的交点以及梯形的面积公式以及圆周角定理，此题综合性很强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．