Question

已知P（0，6），过P点的直线交双曲线y=

m

x

于A、B两点，点A的横坐标为4，点B的横坐标为2，直线AO交双曲线y=

m

x

于另一点C，连结BC交y轴于Q，
（1）求m的值；  
（2）求

PA

PB

+

QB

QC

的值；   
（3）求△ABC的面积．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）设直线AP是关系式是y=ax+6（a≠0）．由题设可设A（4，t），B（2，p）；然后根据一次函数图象上点的坐标特征列出关于m、a、t、p的方程组，通过解方程组即可求得m的值；
（2）根据双曲线的中心对称性知，点C与点A关于原点对称，则C（-4，-2）．利用待定系数法求得直线BC的关系式，从而得知点Q的坐标；然后由两点间的距离公式求得所求代数式中相关线段的长度；
（3）根据直线AP、BC的解析式可以推知BC⊥AP，所以根据直角三角形的面积公式来求△ABC的面积．

解答：解：（1）∵P（0，6），点A的横坐标为4，点B的横坐标为2，
∴设直线AP是关系式是y=ax+6（a≠0），设A（4，t），B（2，p）．
又∵点A、B在双曲线y=

m

x

上，点A、B在直线AP上，
∴

t= m 4 p= m 2 t=4a+6 p=2a+6

，
解得

t=2 p=4 a=-1 m=8

．
∴m的值是8；

（2）由（1）可知A（4，2），B（2，4）．
根据双曲线的中心对称性知，点C与点A关于原点对称，则C（-4，-2）．
易求直线BC的解析式是y=x+2，则Q（0，2）．
∴QB=2

2

，QC=4

2

．
∵P（0，6），
∴PA=4

2

，PB=2

2

．
∴

PA

PB

+

QB

QC

=

4 2

2 2

+

2 2

4 2

=

5

2

；

（3）∵直线BC的解析式是y=x+2，直线AP是关系式是y=-x+6，
∴BC⊥AP，
又∵A（4，2），B（2，4），C（-4，-2），
∴AB=2

2

，BC=4

5

，
∴S_△ABC=

1

2

AB•BC=

1

2

×2

2

×4

5

=4

10

，即△ABC的面积是4

10

．

点评：本题综合考查了两点间的距离公式，一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数、反比例函数解析式．解答该题的技巧性在于根据反比例函数图象的中心对称性求得点C的坐标．