Question

如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，有一点到终点运动即停止．问：
（1）几秒钟后△PBQ的面积等于8cm²？
（2）几秒钟后PQ⊥DQ？
（3）是否存在这样的时刻，使S_△PDQ=8cm²，试说明理由．

Answer 1

解：
（1）设x秒后△PBQ的面积等于8cm²．
则AP=x，QB=2x．
∴PB=6-x．
∴×（6-x）2x=8，
解得x₁=2，x₂=4，
答：2秒或4秒后△PBQ的面积等于8cm²；
（2）设x秒后PQ⊥DQ时，则∠DQP为直角，
∴△BPQ∽△CQD，
∴=，
设AP=x，QB=2x．
∴=，
∴2x²-15x+18=0，
解得：x=或6，
答：秒或6秒钟后PQ⊥DQ；
（3）设出发秒x时△DPQ的面积等于8cm²．
∵S_矩形ABCD-S_△APD-S_△BPQ-S_△CDQ=S_△DPQ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴12×6-×12x-×2x（6-x）-×6×（12-2x）=8，
化简整理得 x²-6x+28=0，
∵△=36-4×28=-76＜0，
∴原方程无解，
∴不存在这样的时刻，使S_△PDQ=8cm²．
分析：（1）表示出PB，QB的长，利用△PBQ的面积等于8cm²列式求值即可；
（2）如果PQ⊥DQ，则∠DQP为直角，得出△BPQ∽△CQD，即可得出=，再设AP=x，QB=2x，得出=，求出x即可；
（3）设出发秒x时△DPQ的面积等于8平方厘米，根据三角形的面积公式列出方程，再根据根的判别式判断方程是否有解即可．
点评：此题考查了矩形的性质、一元二次方程的应用、相似三角形的性质；解题的关键是根据三角形相似的性质列出方程．