Question

9．如图，△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，B，C，D在同一直线上，连接EC．求证：EC⊥BD．

Answer 1

分析 先根据∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，得出∠BAD=∠CAE，然后证明△ABD≌△ACE，再得出∠ACE=∠ABD=45°，∠BCA+∠ACE=90°，即可证明出EC⊥BD．

解答 解：∵在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，∠ABC=∠BCA=45°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE 中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACE，
∴∠ACE=∠ABD=∠ABC=45°，
∴∠BCA+∠ACE=90°，
∴EC⊥BD．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键在于找出全等三角形并根据全等三角形的性质求出∠BCA+∠ACE=90°．