Question

6．如图，直线y=x+4与双曲线y=-$\frac{3}{x}$相交于A、B两点，点P是y轴上的一个动点，当PA+PB的值最小时，点P的坐标为（　　）

• A． （0，$\frac{5}{3}$）
• B． （0，$\frac{5}{2}$）
• C． （0，-$\frac{5}{3}$）
• D． （0，-$\frac{5}{2}$）

Answer 1

分析 根据轴对称-最短路径全等点P，解方程组求出A、B的坐标，得到A′的坐标，求出直线BA′的解析式，计算即可．

解答 解：作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于P，
则点P即为所求，
$\left\{\begin{array}{l}{y=x+4}\\{y=-\frac{3}{x}}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-3}\\{{y}_{2}=1}\end{array}\right.$，
则点A的坐标为（-1，3），点B的坐标为（-3，1），
∴点A′的坐标为（1，3），
设直线BA′的解析式为：y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=1}\\{k+b=3}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线BA′的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$，
当x=0时，y=$\frac{5}{2}$，
∴点P的坐标为（0，$\frac{5}{2}$），
故选：B．

点评 本题考查的是一次函数的解析式、反比例函数解析式、反比例函数与一次函数的交点问题以及轴对称-最短路径问题，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键．