Question

如图，已知BP平分∠ABC，PD⊥BC于D，BF+BE=2BD，求证：∠BFP+∠BEP=180°．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：证明题

分析：过点P作PH⊥AB于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD=PH，利用“HL”证明Rt△BDP和Rt△BHP全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=BH，再求出DE=FH，然后利用“边角边”证明△ODE和△PHF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BEP=∠PFH，然后根据∠BFP+∠PFH=180°等量代换即可得证．

解答：证明：如图，过点P作PH⊥AB于H，
∵BP平分∠ABC，PD⊥BC，
∴PD=PH，
在Rt△BDP和Rt△BHP中，

BP=BP PD=PH

，
∴Rt△BDP≌Rt△BHP（HL），
∴BD=BH，
∵BF+BE=2BD，
∴BD-BF=BE-BD，
即BH-BF=BE-BD，
∴FH=DE，
在△ODE和△PHF中，

FH=DE ∠PDE=∠PHF PD=PH

，
∴△ODE≌△PHF（SAS），
∴∠BEP=∠PFH，
∵∠BFP+∠PFH=180°，
∴∠BFP+∠BEP=180°．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，难点在于求出DE=FH．