Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D 在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q 分别从点A和点B 同时出发，其中点P以1cm/秒的速度沿AC 向终点C 运动；点Q以1.25cm/秒的速度沿BC 向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接PQ，EQ．设动点运动时间为t秒（0＜t≤4 ）．解答下列问题：
（1）判定直线PQ与直线AB的位置关系，并说明理由；
（2）设△EPQ的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；
（3）设线段PQ的长为x（cm），求y与x之间的函数关系式；
（4）是否存在某一时刻t，使△EDQ为直角三角形？若存在，求出此时t的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）根据已知条件得出

PC

AC

=

QC

BC

，再根据∠C=∠C，得出△PQC∽△ABC，即可得出∠PQC=∠B，从而得出PQ∥AB；
（2）根据已知和AA得出△APE∽△ADC，求出PE的值，即可得出y与t之间的函数关系式；
（3）由（1）得出△PQC∽△ABC，求出PQ=

41

4

（4-t）=x，求出t的值，即可得出y与t之间的函数关系式；
（4）由于∠EDQ≠90°，当△EDQ为直角三角形时，可分两种情况进行讨论：∠QED=90°和∠EQP=90°，两种情况都可以通过证明三角形相似，列出比例关系式，从而求出t的值．

解答：解：（1）直线PQ与直线AB平行；
∵AP=t厘米，BQ=1.25t厘米，AC=4厘米，BC=5厘米，
∴

PC

AC

=

4-t

4

，

QC

BC

=

5-1.25t

5

=

4-t

4

，
∴

PC

AC

=

QC

BC

，
 又∵∠C=∠C，
∴△PQC∽△ABC，
∴∠PQC=∠B，
∴PQ∥AB，
∴在运动过程中，不论t 取何值时，总有线段PQ与线段AB平行；

（2）∵PE∥BC，
∴∠AEP=∠ADC，
又∵∠DAC=∠DAC，
∴△APE∽△ADC
∴

PE

DC

=

AP

AC

，
∴PE=

3

4

t，
∴y=

1

2

PE•PC=

3

8

t（4-t）；

（3）由（1）得△PQC∽△ABC，
∴

PQ

AB

=

PC

AC

，
∴PQ=

41

4

（4-t）=x，
∴4-t=

4 41

41

x
t=4-

4 41

41

x，
∴y=

6 41 x-12x2

41

；

（4）分两种情况讨论：
①如图1：当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4-t，DQ=1.25t-2，
又∵EQ∥AC，
∴△EDQ∽△ADC，
∴

EQ

AC

=

DQ

DC

，即

4-t

4

=

1.25t-2

3

，
解得t=2.5；
②如图2：当∠QED=90°时，
∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，
∴△EDQ∽△CDA，
∴

DQ

DA

=

Rt△EDQ斜边的高

Rt△CDA斜边的高

，
∴Rt△EDQ斜边上的高为4-t，Rt△CDA斜边上的高为2.4，
∴

1.25t-2

5

=

4-t

2.4

，
解得t=3.1．
综上所述，当t为2.5秒或3.1秒时，△EDQ为直角三角形．

点评：此题考查了相似形综合，用到的知识点是平行线的判定、相似三角形的判定与性质、平行四边形及直角三角形的性质等，关键是根据题意画出图形，构造直角三角形，注意分情况讨论，不要漏解．