Question

11．小明写出如下一组数：$\frac{1}{5}$，-$\frac{3}{9}$，$\frac{7}{17}$，-$\frac{15}{33}$，…，请用你发现的规律，猜想第2014个数为-$\frac{{2}^{2014}-1}{{2}^{2015}+1}$．

Answer 1

分析 首先判断出每个数的正负，然后根据每个数的分子分别是1、3、7、15、…，判断出第n个数的分子是多少；最后根据每个数的分母分别是5、9、17、33、…，判断出第n个数的分母是多少，进而判断出这组数的第n个数是多少，再把n=2014代入，求出第2014个数为多少即可．

解答 解：∵这组数分别是正数、负数、正数、负数、…，
∴这组数的第n个数的正负即（-1）ⁿ⁺¹的正负；
∵1=2¹-1，3=2²-1，7=2³-1，15=2⁴-1，
∴第n个数的分子是：2ⁿ-1；
∵5=4×（2^1-1-1）+5，9=4×（2^2-1-1）+5，17=4×（2^3-1-1）+5，33=4×（2^4-1-1）+5，
∴第n个数的分母是：4×（2^n-1-1）+5=2ⁿ⁺¹+1；
∴这组数的第n个数是：
（-1）ⁿ⁺¹•$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n+1}+1}$，
∴第2014个数为：
（-1）²⁰¹⁴⁺¹•$\frac{{2}^{2014}-1}{{2}^{2015}+1}$=-$\frac{{2}^{2014}-1}{{2}^{2015}+1}$．

故答案为：-$\frac{{2}^{2014}-1}{{2}^{2015}+1}$．

点评 此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是求出这组数的第n个数是多少．