Question

阅读以下材料：
若关于x的三次方程x³+ax²+bx+c=0（a、b、c为整数）有整数解n，则将n代入方程x³+ax²+bx+c=0得：n³+an²+bn+c=0
∴c=-n³-an²-bn=-n（n²+an+b）
∵a、b、n都是整数∴n²+an+b是整数∴n是c的因数．
上述过程说明：整数系数方程x³+ax²+bx+c=0的整数解n只能是常数项c的因数．
如：∵方程x³+4x²+3x-2=0中常数项-2的因数为：±1和±2，
∴将±1和±2分别代入方程x³+4x²+3x-2=0得：x=-2是该方程的整数解，-1、1、2不是方程的整数解．
解决下列问题：
（1）根据上面的学习，方程x³+2x²+6x+5=0的整数解可能______；
（2）方程-2x³+4x²+12x-14=0有整数解吗？若有，求出整数解；若没有，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）认真学习题目给出的材料，掌握“整数系数方程x³+ax²+bx+c=0的整数解只可能是c的因数”，再作答．
（2）先变形为x³-2x²-6x+7=0，根据分析（1）得出7的因数后再代入检验可得出答案．
解答：解：（1）由阅读理解可知：该方程如果有整数解，它只可能是5的因数，而5的因数只有：±1，±5这四个数．
故答案为：±1，±5；                                  …（4分）

（2）∵-2x³+4x²+12x-14=0
∴x³-2x²-6x+7=0…（6分）
∵方程x³-2x²-6x+7=0中常数项7的因数为：±1和±7 …（8分）
∴将±1和±7分别代入方程x³-2x²-6x+7=0得：x=1是该方程的整数解，-1、±7不是方程的整数解．…（10分）
点评：本题考查同学们的阅读能力以及自主学习、自我探究的能力，该类型的题是近几年的热点考题．
认真学习题目给出的材料，掌握“整数系数方程x³+ax²+bx+c=0的整数解只可能是c的因数”是解答问题的基础．