Question

9．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，AB与OD交于点P，其中OA=3，OB=2．
（1）求AB所在直线的解析式；
（2）求OD所在直线的解析式；
（3）求交点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由OA=3，OB=2以及点A、B所在的位置即可得出点A、B的坐标，再利用待定系数法即可求出AB所在直线的解析式；
（2）过点D作DE⊥y轴于点E，通过角的计算得出∠OAB=∠EDA，结合AD=BA以及∠AED=∠BOA=90°即可证出△OAB≌△EDA（AAS），进而即可得出AE、ED的长，再根据OE=OA+AE即可得出点D的坐标，利用待定系数法即可求出OD所在直线的解析式；
（3）联立直线AB、OD的解析式成方程组，解方程组即可求出交点P的坐标．

解答 解：（1）∵A在y轴正半轴上，B在x轴正半轴上，OA=3，OB=2，
∴A（0，3），B（2，0）．
设AB所在直线的解析式为y=kx+b（k≠0），
则$\left\{\begin{array}{l}{3=b}\\{0=2k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴AB所在直线的解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+3．
（2）过点D作DE⊥y轴于点E，如图所示．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=BA，∠BAD=90°，
∴∠OAB+∠EAD=90°．
又∵∠EAD+∠EDA=90°，
∴∠OAB=∠EDA．
在△OAB和△EDA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OAB=∠EDA}\\{∠AED=∠BOA=90°}\\{AD=BA}\end{array}\right.$，
∴△OAB≌△EDA（AAS），
∴AE=BO=2，ED=OA=3，
∴OE=OA+AE=5，
∴D（3，5）．
设OD所在直线的解析式为y=ax（a≠0），
∴5=3a，解得：a=$\frac{5}{3}$，
∴OD所在直线的解析式为y=$\frac{5}{3}$x．
（3）联立直线AB和OD，得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{2}x+3}\\{y=\frac{5}{3}x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{18}{19}}\\{y=\frac{30}{19}}\end{array}\right.$．
∴交点P的坐标为（$\frac{18}{19}$，$\frac{30}{19}$）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质以及解二元一次方程组，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出直线AB的解析式；（2）利用待定系数法求出直线OD的解析式；（3）联立直线AB、OD的解析式成方程组．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．