Question

（2013•红河州）如图，抛物线y=-x²+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上的一个动点且在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线BC于点E．
（1）求点A、B、C的坐标和直线BC的解析式；
（2）求△ODE面积的最大值及相应的点E的坐标；
（3）是否存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）在抛物线解析式y=-x²+4中，令y=0，解方程可求得点A、点B的坐标；令x=0，可求得顶点C的坐标．已知点B、C的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式；
（2）求出△ODE面积的表达式，利用二次函数的性质求出最大值，并确定点E的坐标；
（3）本问为存在型问题．因为△OAC与△OPD都是直角三角形，需要分类讨论：
①当△PDO∽△COA时，由

PD

CO

=

OD

AO

得PD=2OD，列方程求出点P的坐标；
②当△PDO∽△AOC时，由

PD

AO

=

OD

CO

得OD=2PD，列方程求出点P的坐标．

解答：解：（1）在y=-x²+4中，当y=0时，即-x²+4=0，解得x=±2．
当x=0时，即y=0+4，解得y=4．
所以点A、B、C的坐标依次是A（-2，0）、B（2，0）、C（0，4）．
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

2k+b=0 b=4

，解得

k=-2 b=4

．
所以直线BC的解析式为y=-2x+4．         …3分

（2）∵点E在直线BC上，
∴设点E的坐标为（x，-2x+4），
则△ODE的面积S可表示为：S=

1

2

x(-2x+4)=-x2+2x=-(x-1)2+1．
∴当x=1时，△ODE的面积有最大值1．
此时，-2x+4=-2×1+4=2，
∴点E的坐标为（1，2）．  …5分

（3）存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似，理由如下：
设点P的坐标为（x，-x²+4），0＜x＜2．
因为△OAC与△OPD都是直角三角形，分两种情况：
①当△PDO∽△COA时，

PD

CO

=

OD

AO

，

-x2+4

4

=

x

2

，
解得x1=

5

-1，x2=-

5

-1（不符合题意，舍去）．
当x=

5

-1时，y=-(

5

-1)2+4=2

5

-2．
此时，点P的坐标为(

5

-1，2

5

-2)．
②当△PDO∽△AOC时，

PD

AO

=

OD

CO

，

-x2+4

2

=

x

4

，
解得x3=

-1+ 65

4

，x4=

-1- 65

4

（不符合题意，舍去）．
当x=

-1+ 65

4

时，y=-(

-1+ 65

4

)2+4=

-1+ 65

8

．
此时，点P的坐标为(

-1+ 65

4

，

-1+ 65

8

)．
综上可得，满足条件的点P有两个：P1(

5

-1，2

5

-2)，P2(

-1+ 65

4

，

-1+ 65

8

)．   …9分．

点评：本题是二次函数压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数的最值、相似三角形、解方程等知识点，难度不大．第（3）问是存在型问题，可能存在两种符合条件的情况，需要分类讨论，避免漏解．