Question

（2012•市中区一模）如图，在直角坐标系中，O是原点，A，B，C三点的坐标分别为A（18，0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点P，Q同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC，CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．
（1）求直线OC的解析式．
（2）设从出发起，运动了t秒．如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围．
（3）设从出发起，运动了t秒．当P，Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分？如有可能，请求出t的值；如不可能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）O，C两点的坐标分别为O（0，0），C（8，6），利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）当Q在OC上运动时，Q的坐标满足直线OC的解析式，可设Q(m，

3

4

m)，则OQ就是Q运动的路程，利用勾股定理即可利用t表示出m，从而求得Q的坐标；
当Q在CB上运动时，Q点所走过的路程为2t，求得CQ的长度，即可求得Q的坐标；
（3）当Q点在OC上运动时，P运动的路程为t，则Q运动的路程为（22-t），根据△OPQ的面积等于梯形面积的一半，即可得到一个关于t的方程，根据方程的解得情况即可判断；
当Q在BC上运动时，Q走过的路程为（22-t），根据梯形OCQP的面积等于梯形OABC的面积的一半从而列方程求解．

解答：解：（1）∵O，C两点的坐标分别为O（0，0），C（8，6），设OC的解析式为y=kx+b，
将两点坐标代入得：k=

3

4

，b=0．
∴y=

3

4

x．

（2）当Q在OC上运动时，可设Q(m，

3

4

m)，依题意有：m2+(

3

4

m)2=(2t)2，解得m=

8

5

t．
则Q(

8

5

t，

6

5

t)（0≤t≤5）．
当Q在CB上运动时，Q点所走过的路程为2t．
∵OC=10，
∴CQ=2t-10．
∴Q点的横坐标为2t-10+8=2t-2．
∴Q（2t-2，6）（5≤t≤10）．

（3）∵梯形OABC的周长为44，当Q点在OC上运动时，P运动的路程为t，则Q运动的路程为（22-t）．
△OPQ中，OP边上的高为：(22-t)×

3

5

．
∴S△OPQ=

1

2

t(22-t)×

3

5

，S梯形OABC=

1

2

(18+10)×6=84．
依题意有：

1

2

t(22-t)×

3

5

=84×

1

2

．
整理得：t²-22t+140=0．
∵△=22²-4×140＜0，
∴这样的t不存在．
当Q在BC上运动时，Q走过的路程为（22-t），
∴CQ的长为：22-t-10=12-t．
∴S梯形OCQP=

1

2

×6(22-t-10+t)=36≠84×

1

2

．
∴这样的t值也不存在．
综上所述，不存在这样的t值，使得P，Q两点同时平分梯形的周长和面积．

点评：此题是一次函数与梯形相结合的题目，解答此题的关键是结合图形分别表示出P，Q的坐标，分别求出各点的坐标再计算．