Question

已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C点，∠ACB≥90°．
（1）求点C的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）求a的取值范围；
（3）设D为拋物线的顶点，求△ACD中边CD上的高h的最大值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出c的值，也就得出了C点的坐标；
（2）由于抛物线的解析式中二次项系数的绝对值越大开口越小，因此可计算出当∠ACB=90°时a的取值进而来求a的取值范围．当∠ACB=90°时，根据射影定理可求出OC的长，根据（1）中表示C点坐标的式子可得出此时a的值．因此a的取值范围就应该是0到这个值之间（a≠0）；
（3）延长DC交x轴于H，过A作AM⊥DH于M，那么AM就是所求的h；先根据抛物线的解析式求出抛物线的顶点坐标，过D作DG⊥y轴于G，根据相似三角形DCG和HCO不难求出OH=3，那么AH=2，因此在直角三角形HAM中，要想使AM最长，就需要使∠OHC最大，即OC要最长，根据（2）a的取值范围即可得出a的最大值，也就能求出此时∠AHM的正弦值，进而可求出AM的最大值．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），
∴

a-b+c=0 9a+3b+c=0

，
消去b，得c=-3a
∴C的坐标为（0，-3a）；

（2）当∠ACB=90°时，∠AOC=∠BOC=90°，
∴∠OBC+∠BCO=90°，∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠ACO=∠OBC，
∴△AOC∽△COB
∴

AO

OC

=

OC

OB

，
∴OC²=AO•OB，
∵AO=1，OB=3，
∴OC=

3

，
∵∠ACB≥90°，
∴OC≤

3

，
若a＞0，则-c≤

3

，
由（1）得3a≤

3

，
∴a≤

3

3

，
∴a的取值范围为：0＜a≤

3

3

；
若a＜0，则c≤

3

，
即-3a≤

3

，
∴a≥-

3

3

，
∴a的取值范围为：-

3

3

≤a＜0；
综上可得：a的取值范围为：0＜a≤

3

3

或-

3

3

≤a＜0；

（3）作DG⊥y轴于点G，延长DC交x轴于点H，如图，
∵抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A（-1，0），B（3，0），
∴抛物线的对称轴为x=1，
即-

b

2a

=1，
∴b=-2a，
又由（1）有c=-3a，
∴抛物线方程为：y=ax²-2ax-3a，
∴D点坐标为（1，-4a），
∴CO=|3a|，GC=|a|，DG=1，
∵DG∥OH，
∴△DCG∽△HCO，
∴

DG

OH

=

GC

CO

，即

1

OH

=

|a|

|3a|

，
∴OH=3，
∴直线DC过定点H（-3，0），
∴AH=2，
过A作AM⊥DH，垂足为M，即AM=h，
∴h=HAsin∠OHC=2sin∠OHC，
∵0＜CO≤

3

，
∴0°＜∠OHC≤30°，
∴0＜sin∠OHC≤

1

2

，
∴0＜h≤1，
∴h的最大值为1．

点评：此题属于二次函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式、相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数的知识．此题难度较大，综合性较强，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．