Question

8．（1）尝试计算：m₁=2×3=$\frac{1}{a}$（2×3×4-1×2×3）；m₂=3×4=$\frac{1}{a}$（3×4×5-b×3×4）；m₃=4×5=$\frac{1}{a}$（4×5×c-3×4×5）；…
直接写出等式中a、b、c的值
（2）规律提炼：写出第n个等式（用含有字母n的式子表示）
（3）问题解决：求m₁+m₂+m₃+…+m₉₉的值．

Answer 1

分析 （1）根据代数式的运算，找出关于a、b、c的一元一次方程，解方程即可得出结论；
（2）根据给定的m₁、m₂、m₃的值，找出变化规律“m_n=（n+1）（n+2）=$\frac{1}{3}$×[（n+1）（n+2）（n+3）-n（n+1）（n+2）]”，此题得解；
（3）代入m_n的值，即可得出结论．

解答 解：（1）∵m₁=2×3=$\frac{1}{a}$（2×3×4-1×2×3）=$\frac{1}{a}$×（4-1）×2×3，
∴a=3；
∵m₂=3×4=$\frac{1}{a}$（3×4×5-b×3×4）=$\frac{1}{3}$×（5-b）×3×4，
∴b=2；
∵m₃=4×5=$\frac{1}{a}$（4×5×c-3×4×5）=$\frac{1}{3}$×（c-3）×4×5，
∴c=6．
（2）观察，发现规律：m₁=2×3=$\frac{1}{3}$×（2×3×4-1×2×3），m₂=3×4=$\frac{1}{3}$×（3×4×5-2×3×4），m₃=4×5=$\frac{1}{3}$×（4×5×6-3×4×5），…，
∴m_n=（n+1）（n+2）=$\frac{1}{3}$×[（n+1）（n+2）（n+3）-n（n+1）（n+2）]．
（3）m₁+m₂+m₃+…+m₉₉=$\frac{1}{3}$×2×3×4-$\frac{1}{3}$×1×2×3+$\frac{1}{3}$×3×4×5-$\frac{1}{3}$×2×3×4+$\frac{1}{3}$×4×5×6-$\frac{1}{3}$×3×4×5+…+$\frac{1}{3}$×100×101×102-$\frac{1}{3}$×99×100×101=$\frac{1}{3}$×100×101×102-$\frac{1}{3}$×1×2×3=343998．

点评 本题考查了规律型中数字的变化类，根据给定的算式的变化找出变化规律是解题的关键．