Question

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y=-x-1，双曲线y=$\frac{1}{x}$，在l上取一点A₁，过A₁作x轴的垂线交双曲线于点B₁，过B₁作y轴的垂线交l于点A₂，请继续操作并探究：过A₂作x轴的垂线交双曲线于点B₂，过B₂作y轴的垂线交l于点A₃，…，这样依次得到l上的点A₁，A₂，A₃，…，A_n，…记点A_n的横坐标为a_n，若a₁=2，则a₂=-$\frac{3}{2}$，a₂₀₁₆=-$\frac{1}{3}$；若要将上述操作无限次地进行下去，则a₁不可能取的值是0或-1．

Answer 1

分析 根据点的寻找规律，列出部分a_n值，可以发现规律“a_3n+1=a₁，a_3n+2=-$\frac{{a}_{1}+1}{{a}_{1}}$，a_3n=-$\frac{1}{{a}_{1}+1}$（n为正整数）”，根据该规律即可解决问题．

解答 解：当a₁=2时，a₂=-$\frac{3}{2}$，a₃=-$\frac{1}{3}$，a₄=2，…，
∴a_3n+1=2，a_3n+2=-$\frac{3}{2}$，a_3n=-$\frac{1}{3}$（n为正整数）．
∵2016=3×672，
∴a₂₀₁₆=-$\frac{1}{3}$．
观察，发现：a₁，a₂=-1-$\frac{1}{{a}_{1}}$=-$\frac{{a}_{1}+1}{{a}_{1}}$，a₃=-1-$\frac{1}{{a}_{2}}$=-$\frac{1}{{a}_{1}+1}$，a₄=-1-$\frac{1}{{a}_{3}}$=a₁，…，
∴a_3n+1=a₁，a_3n+2=-$\frac{{a}_{1}+1}{{a}_{1}}$，a_3n=-$\frac{1}{{a}_{1}+1}$（n为正整数）．
若要a_n有意义，只需a₁≠0，a₁+1≠0．
即a₁≠0且a₁≠-1．
故答案为：-$\frac{3}{2}$；-$\frac{1}{3}$；0或-1．

点评 本题考查了规律型的点的坐标以及反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是发现规律“a_3n+1=a₁，a_3n+2=-$\frac{{a}_{1}+1}{{a}_{1}}$，a_3n=-$\frac{1}{{a}_{1}+1}$（n为正整数）”．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，罗列出部分a_n的值，根据a_n的变化找出规律是关键．