Question

如图（1），抛物线y=ax²-3ax+b经过A（-1，0），C（3，-4）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若直线L：y=kx+1（k≠0）将四边形ABCD的面积分成相等的两部分，求直线L的解析式；
（3）如图（2），过点E（1，1）作EF⊥x轴于点F，将△AEF绕平面内某点旋转180°后得△MNT（点M、N、T分别与点A，E，F对应），使点M，N在抛物线上，求点M，N的坐标．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²-3ax+b过A（-1，0）、C（3，-4），
∴0=a+3a+b，-4=9a-9a+b．
解得a=1，b=-4，
∴抛物线解析式y=x²-3x-4．

（2）如图1，过点C作CH⊥AB于点H，
由y=x²-3x-4得B（4，0）、D（0，-4）．
又∵A（-1，0），C（3，-4），
∴CD∥AB．
由抛物线的对称性得四边形ABCD是等腰梯形，
∴S_△AOD=S_△BHC．
设矩形ODCH的对称中心为P，则P（，-2）．
由矩形的中心对称性知：过P点任一直线将它的面积平分．
∴过P点且与CD相交的任一直线将梯形ABCD的面积平分．
当直线y=kx+1经过点P时，
得-2=k+1
∴k=-2．
∴当k=-2时，直线y=-2x+1将四边形ABCD面积二等分．

（3）如图2，由题意知，四边形AEMN为平行四边形，
∴AN∥EM且AN=EM．
∵E（1，1）、A（-1，0），
∴设M（m，n），则N（m-2，n-1）
∵M、N在抛物线上，
∴n=m²-3m-4，n-1=（m-2）²-3（m-2）-4，
解得m=，n=-．
∴M（，-），N（，-）

分析：首先把已知坐标代入解析式求出抛物线解析式．然后作辅助线过点C作CH⊥AB于点H，得出四边形ABCD是等腰梯形，由矩形的中心对称性得出过P点且与CD相交的任一直线将梯形ABCD的面积平分．设M（m，n），N（m+2，n+1）利用等式关系求出m，n的值后即可．
点评：本题的综合性强，是不可多得的一道答题．重点考查了二次函数的有关知识以及平行四边形，梯形的性质，难度较大．