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    如图：四边形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点，顺次连结E、F、G、H，把四边形EFGH称为中点四边形．连结AC、BD，容易证明：中点四边形EFGH一定是平行四边形．

    (1)如果改变原四边形ABCD的形状，那么中点四边形的形状也随之改变，通过探索可以发现：

    当四边形ABCD的对角线满足AC＝BD时，四边形EFGH为菱形；

    当四边形ABCD的对角线满足________时，四边形EFGH为矩形；

    当四边形ABCD的对角线满足________时，四边形EFGH为正方形．

    (2)探索△AEH、△CFG与四边形ABCD三者的面积有何等量关系，请写出你发现的结论，并加以证明．

    (3)利用(2)的结论计算：如果四边形ABCD的面积为2，那么中点四边形EFGH的面积是________．

    答案：
    解析：

    　　解：(1)AC⊥BD；AC⊥BD且AC＝BD　　4分

    　　(2)S△AEH＋S△CFG＝S四边形ABCD　　6分

    　　证明：在△ABD中，EH∥BD且EH＝BD．

    　　△AEH∽△ABD，，即S△AEH＝S△ABD．　　8分

    　　同理可证：S△CFG＝S△CBD　　9分

    　　∴S△AEH＋S△CFG＝(S△ABD＋S△CBD)＝S四边形ABCD　　10分

    　　(3)1　　12分


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    （提示：平面图形的性质通常从它的边、内角、对角线、周长、面积等入手．）

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    （1）求证：PA=PC．
    （2）若BD=12，AB=15，∠DBA=45°，求四边形ABCD的面积．

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    如图，四边形ABCD为正方形，E是BC的延长线上的一点，且AC=CE，求∠DAE的度数．

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    如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．

    （I）求证：AE=EF；
    （Ⅱ）若将条件中的“点E是BC的中点”改为“E是BC上任意一点”，其余条件不变，则结论AE=EF还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

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