Question

如图，直线DE经过⊙O上的点C，并且OE=OD，EC=DC，⊙O交直线OD于A、B两点，连接BC，AC，OC．
求证：
（1）直线DE是⊙O的切线；
（2）△ACD∽△CBD．

Answer 1

分析：（1）由OE=OD，EC=DC，且OC为公共边，利用SSS得出三角形OCD与三角形OCE全等，由全等三角形的对应角相等得到一对角相等，由这两角互为邻补角，得到每一个角都为直角，即OC垂直于DE，可得出DE为圆O的切线；
（2）由弦切角等于夹弧所对的圆周角得到一对角相等，再由一对公共角，利用两对对应角相等的两三角形相似即可得证．

解答：证明：（1）在△OCD和△OCE中，
∵

OD=OE OC=OC CD=CE

，
∴△OCD≌△OCE（SSS），
∴∠OCD=∠OCE，
又∵∠OCD+∠OCE=180°，
∴∠OCD=∠OCE=90°，
则DE是圆O的切线；

（2）∵DE为圆O的切线，
∴∠ACD=∠B（弦切角等于夹弧所对的圆周角），
又∵∠D=∠D，
∴△ACD∽△CBD．

点评：此题考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，以及相似三角形的判定，切线的判定方法有两种：有点连接证明垂直；无点作垂线证明垂线段等于圆的半径．