Question

20．解方程：
（1）$\frac{3x-1}{{x}^{2}-1}$+1=$\frac{1}{x-1}$；
（2）$\sqrt{x+2}$-$\sqrt{8-x}$=2．

Answer 1

分析 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论，据此解答即可；
（2）首先应用乘方法，求出$\sqrt{x+2}$-$\sqrt{8-x}$=2的解有哪些；然后验根，判断出$\sqrt{x+2}$-$\sqrt{8-x}$=2的解是多少即可．

解答 解：（1）∵$\frac{3x-1}{{x}^{2}-1}$+1=$\frac{1}{x-1}$，
∴（3x-1）+（x²-1）=x+1，
整理，可得
x²+2x-3=0，
解得x=-3或x=1，
①当x=-3时，
左边=$\frac{3×（-3）-1}{{（-3）}^{2}-1}+1=-\frac{1}{4}$，
右边=$\frac{1}{-3-1}=-\frac{1}{4}$，
因为左边=右边，
所以x=-3是方程的解；
②当x=1时，
1-1=0，即分母为0，
所以x=1不是方程的解；
综上，可得方程$\frac{3x-1}{{x}^{2}-1}$+1=$\frac{1}{x-1}$的解是x=-3．

（2）∵$\sqrt{x+2}$-$\sqrt{8-x}$=2，
∴$\sqrt{x+2}$=2$+\sqrt{8-x}$，
${∴（\sqrt{x+2}）}^{2}$=${（2+\sqrt{8-x}）}^{2}$，
即x+2=12-x+4$\sqrt{8-x}$，
整理，可得2$\sqrt{8-x}$=x-5，
∴${（2\sqrt{8-x}）}^{2}$=（x-5）²，
整理，可得x²-6x-7=0，
解得x=7或x=-1，
①把x=7代入原方程，可得
左边=$\sqrt{7+2}-\sqrt{8-7}=3-1=2$，
右边=2，
因为左边=右边，
所以x=7是方程$\sqrt{x+2}$-$\sqrt{8-x}$=2的解．
②把x=-1代入原方程，可得
左边=$\sqrt{-1+2}-\sqrt{8-（-1）}=1-3=-2$，
右边=2，
因为左边≠右边，
所以x=-1是方程$\sqrt{x+2}$-$\sqrt{8-x}$=2的解．
综上，可得方程$\sqrt{x+2}$-$\sqrt{8-x}$=2的解是x=7．

点评 （1）此题主要考查了分式方程的求解，解答此题的关键是要明确解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）此题还考查了无理方程的求解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①解无理方程常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．②用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．