如图.已知直线y=x+3与x轴.y轴分别交于A.B两点.抛物线y=-x2+bx+c经过A.B两点.且与x轴交于另一点C．(1)求抛物线的解析式,(2)若点P是抛物线上A.B两点之间的一动点.当点P在什么位置时.四边形PACB的面积最大.请求出此时点P的坐标及四边形PACB面积的最大值,的条件时.在抛物线的y轴上是否存在唯一的点M.使△PAM成为以点M为直角顶点的直角三角形.如果� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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1．如图，已知直线y=x+3与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线y=-x²+bx+c经过A，B两点，且与x轴交于另一点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上A，B两点之间的一动点，当点P在什么位置时，四边形PACB的面积最大，请求出此时点P的坐标及四边形PACB面积的最大值；
（3）当点P符合（2）的条件时，在抛物线的y轴上是否存在唯一的点M，使△PAM成为以点M为直角顶点的直角三角形，如果存在，请求出点M的坐标；如果不存在，那么将A，P两点同时向左（或右）平移多少个长度单位后，可以使点M符合上述条件，并求出点M的坐标．

分析（1）根据自变量与函数值得对应关系，可得A，B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是交大的纵坐标间较小的纵坐标，可得PD，根据二次函数的性质，可得PD的最大值，根据面积的和差，可得答案；
（3）根据相似三角形性质，可得关于x的方程，根据方程的解有相等的二实数根，可得n的值，根据解二元一次方程，可得答案．

解答解：（1）在y=x+3中，当x=0时，y=3，当y=0时，x=-3，
∴点A（-3，0），B（0，3），
∵抛物线y=-x²+bx+c经过点A，B两点，得
$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{-9-3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=-x²-2x+3；
（2）如图1，过点P作PD⊥x轴交AB于D点，
∵△ABC的面积是确定的，
∴当△PAB的面积最大时，四边形PACB的面积最大，而当线段PD最长时，△PAB的面积最大，
设P（m，-m²-2m+3），D（m，m+3），
PD=-m²-2m+3-（m+3）=-m²-3m=-（m+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴当m=-$\frac{3}{2}$时，PD的最大值为$\frac{9}{4}$；当m=-$\frac{3}{2}$时，-m²-2m+3=$\frac{15}{4}$，
∴P（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$），
当y=0时，-x²-2x+3=0解得x₁=-3，x₂=1，
∴C（1，0），A（-3，0），
∴C=1-（-3）=4，
∴四边形PACB面积的最大值为：$\frac{1}{2}$AC•OB+$\frac{1}{2}$PD•|x_A|=$\frac{1}{2}$×4×3+$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{4}$×3=6+$\frac{27}{8}$=$\frac{75}{8}$，
∴当点P的坐标为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）时，四边形PACB面积有最大值，且最大值为$\frac{75}{8}$；
（3）当点A，点P在原来的位置时，不存在符合题意的点M，理由如下：
如图2，过点P作PF⊥y轴于F点，假设y轴上存在点M，使∠PMA=90°，
则△PFM∽△MOA，∴$\frac{PF}{MO}$=$\frac{FM}{OA}$，
设OM=x，FM=OF-OM=$\frac{15}{4}$-x，而PF=$\frac{3}{2}$，OA=3，
则$\frac{\frac{3}{2}}{x}$=$\frac{\frac{15}{4}-x}{3}$，化简得
4x²-15x+18=0，
∵△=b²-4ac=（-15）²-4×4×18=-63＜0，
该方程无实数解，
∴不存在点M，使△PAM成为以点M为直角顶点的直角三角形．
设将点A，P同时向右平移n个单位，使之符合题意，
①显然，当n=$\frac{3}{2}$时，点P落在y轴上，此时，M点与原点重合，即M₁（0，0）；
②当n=3时，点A与原点重合，过点P作y轴的垂线，垂足为M，此时M₂（0，$\frac{15}{4}$），
③点M在（0，0）和（0，$\frac{15}{4}$）之间时，设将点A，点P同时向右平移n个单位长度后，点A，P的对应点记作A₁和P₁，过点P₁作y轴的垂线P₁F，垂足为F，如图3，
此时P₁F=$\frac{3}{2}$-n，A₁O=3-n，
△P₁FM∽△MOA₁，∴$\frac{{P}_{1}F}{MO}$=$\frac{FM}{O{A}_{1}}$则
$\frac{\frac{3}{2}-n}{x}$=$\frac{\frac{15}{4}-x}{3-n}$，化简，得
4x²-15x+（4n²-18n+18）=0，
由点M的唯一性，得方程有相等的二实根，
即△（-15）²-16（4n²-18n+18）=0，
解得n₁=$\frac{18+3\sqrt{29}}{8}$，n₂=$\frac{18-3\sqrt{29}}{8}$，
此时方程4x²-15x+（4n²-18n+18）=0的解为x₁=x₂=$\frac{15}{8}$，
此时M₃（0，$\frac{15}{8}$），
∴将点A，P同时向右平移一定长度单位时，存在符合条件的点M，当A，P同时向右平移$\frac{3}{2}$个单位长度时，点M₁（0，0），当点A，P同时向右平移3个单位长度时，M₂（0，$\frac{15}{4}$），当点A，P同时向右平移$\frac{18±3\sqrt{29}}{8}$时，点M₃（0，$\frac{15}{8}$）．

点评本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用平行于y轴的直线上两点间的距离是交大的纵坐标间较小的纵坐标得出PD的最大值；解（3）的关键是利用相似三角形的性质得出关于x的方程，又利用了根的判别式．

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（1）求抛物线的解析式；
（2）点E为第一象限内抛物线上一点，设△ABC的面积为S₁，△BCE的面积为S₂，若S₁=2S₂，求点E的坐标；
（3）设抛物线的顶点为M，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使点M关于直线AP的对称点恰好落在x轴上？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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9．

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C．

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D．

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