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    如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，BC∥AO，顶点O在坐标原点，顶点A（4，0），顶点B（1，4），动点P从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA的方向向A运动，同时，动点Q从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C的方向向C运动．当其中一个点到达终点时，另一个也随之停止．设运动时间为t秒．
    （1）当t为何值时，PB与AQ互相平分？
    （2）设△PAQ的面积为S，求S与t的函数关系式．当t为何值时，S有最大值？最大值是多少？
    （3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以PQ为直径的圆与y轴相切？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．
    【答案】分析：（1）根据已知得出0≤t≤3，过B作BD⊥OA于D，得出矩形OCBD，求出OA=OC=BD=4，BC=1，AD=3，AB=5，根据PB与AQ互相平分得出Q在BC上，根据平行四边形的性质和判定得出4-t=2t-5，求出即可；
    （2）①当0≤t＜时，点Q在线段AB上运动，OP=t．AQ=2t，过Q作QH⊥OA于H，求出QH=QA•sin∠OAB=t，求出S=-（t-2）2+，求出当t=2时，S有最大值是；②当≤≤3时，求出S=•（4-t）•4=8-2t，求出当t=时，S有最大值是3，即可得出答案；
    （3）①当0≤t＜时，点Q在线段AB上运动，求出P的坐标、Q的坐标，求出PQ2=（4-t-t）2+（t）2，求出PQ的中点的横坐标是2-，得出方程2-=PQ，代入求出即可；
    ②当≤t≤3时，得出方程（3-）2=（9t2-36t+52），求出即可．
    解答：解：（1）由题意得：0≤t≤3，
    过B作BD⊥OA于D，
    则四边形OCBD是矩形，
    ∵A（4，0），B（1，4），
    ∴OA=OC=BD=4，BC=1，AD=4-1=3，
    ∴AB==5，
    若PB与AQ互相平分，则Q在BC上，四边形PABQ是平行四边形，
    ∴PA=QB，
    即4-t=2t-5，
    ∴t=3；

    （2）①当0≤t＜时，点Q在线段AB上运动，OP=t．AQ=2t，
    如图1，过Q作QH⊥OA于H，
    则QH=QA•sin∠OAB=2t•=t，
    即S=PA•QH=•（4-t）•t
    =-（t-2）2+，
    ∵a=-＜0，
    ∴当t=2时，S有最大值是；
    ②当≤≤3时，点Q在线段BC上运动，
    ∴S=•（4-t）•4=8-2t，
    ∵-2＜0，
    ∴S随t的增大而减小，
    ∴当t=时，S有最大值是3，
    综合上述，当t=2时，S有最大值是；

    （3）①如图2，当0≤t＜时，点Q在线段AB上运动，
    由题意得：P的坐标是（t，0），Q的坐标是（4-t，t），
    PQ2=（4-t-t）2+（t）2=t2-t+16，
    PQ的中点的横坐标是（t+4-t）÷2=2-，
    若以PQ为直径的圆与y轴相切，则2-=PQ，
    ∴（2-）2=（t2-t+16），
    解得：t=0（舍去），t=，
    ∵＜，
    ∴t=符合题意；
    ②当≤t≤3时，即Q在线段BC上运动时，
    由题意P（t，0），Q（6-2t，4），
    PQ2=（6-2t-t）2+16=9t2-36t+52，
    PQ的中点的横坐标是，即3-，
    若以PQ为直径的圆与y轴相切，则3-=PQ，
    ∴（3-）2=（9t2-36t+52），
    解得：t=1或t=2，均不符合题意，舍去．
    综上所述，存在时刻t=，使得以PQ为直径的圆与y轴相切．
    点评：本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，切线的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．
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    23、在数学上，为了确定平面上点的位置，我们常用下面的方法：如图甲，在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点O的数轴，通常一条画成水平，叫x轴，另一条画成铅垂，叫y轴，这样，我们就说在平面上建立了一个平面直角坐标系，这是由法国数学家和哲学家笛卡尔创立的，这样我们就能确定平面上点的位置，例如，要确定点M的位置，只要作MP⊥x轴，MP⊥y轴，设垂足N，P在各自数轴上所表示的数分别为x，y，则x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，有序数对（x，y）叫做M点的坐标，如图甲，点M的坐标记作（2，3），（1）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图乙，请把△ABC向右平移3个单位，在平面直角坐标系中画出平移后的△A′B′C′；
    （2）请写出平移后点A′的坐标，记作
    （2，2）
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    在平面直角坐标系中，将一块腰长为2
    		2
    cm的等腰直角三角板ABC如图放置，BC边与x轴重合，∠ACB=90°，直角顶点C的坐标为（-3，0）．
    （1）点A的坐标为
    （-3，2
    		2
    ）
    （-3，2
    		2
    ）
    ，点B的坐为
    (-3-2
    		2
    ，0)
    (-3-2
    		2
    ，0)
    ；
    （2）求以原点O为顶点且过点A的抛物线的解析式；
    （3）现三角板ABC以1cm/s的速度沿x轴正方向平移，则平移的时间为多少秒时，三角板的边所在直线与半径为2cm的⊙O相切？

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    科目：初中数学 来源：同步轻松练习　八年级　数学　上 题型：059

    学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6人(如图)

    (1)按照这种规定填写下表：

    (2)根据表中的数据，将s作为纵坐标，n作为横坐标，在如图所示的平面直角坐标系中找出相应各点．

    (3)请你猜一猜上述各点会在某一个函数图象上吗？如果在某一函数图象上，求出该函数的解析式，并利用你探求的结果，求出当n＝10时，s的值．

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    科目：初中数学 来源：2013-2014学年北京海淀区九年级第一学期期中测评数学试卷（解析版） 题型：解答题

    阅读下面的材料：

    小明在研究中心对称问题时发现：

    如图1，当点为旋转中心时，点绕着点旋转180°得到点，点再绕着点旋转180°得到点，这时点与点重合.

    如图2，当点、为旋转中心时，点绕着点旋转180°得到点，点绕着点旋转180°得到点，点绕着点旋转180°得到点，点绕着点旋转180°得到点,小明发现P、两点关于点中心对称.

    （1）请在图2中画出点、， 小明在证明P、两点关于点中心对称时，除了说明P、、三点共线之外，还需证明；

    （2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，当、、为旋转中心时，点绕着点旋转180°得到点；点绕着点旋转180°得到点；点绕着点旋转180°得到点；点绕着点旋转180°得到点. 继续如此操作若干次得到点，则点的坐标为（），点的坐为．

     

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

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    （1）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图乙，请把△ABC向右平移3个单位，在平面直角坐标系中画出平移后的△A′B′C′；
    （2）请写出平移后点A′的坐标，记作______．

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